chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-269-290cheb-1423Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceРазвитие концептуальных положений качественной теорииDevelopment of the conceptual provisions of the qualitative theoryМухинРавиль РафкатовичMukhinRavil’ Rafkatovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

mukhiny@mail.ruСтарооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»РоссияUgarov Stary Oskol Technological Institute (branch) National University of Science and Technology «MISiS»Russian Federation202217012023235269290Copyright © Мухин Р.Р., 20232023Мухин Р.Р.Mukhin R.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1423

Работа посвящена изучению эволюции основных положений качественной теории, под знаком которой происходило развитие всей математики ХХ в. В развитии качественной теории можно выделить несколько этапов с четко выраженными тенденциями: становление качественной теории, когда сложились новые подходы, новый язык и система понятий (конец XIX – 20-е гг. ХХ в.); следующий этап – широкое привлечение методов топологии ифункционального анализа, вероятностных представлений и расширение качественной теории с выделением самостоятельных областей (конец 1920-х – середина ХХ в.); с середины ХХ в. по настоящее время – современный этап. Он выделяется тем, что в качественной теории воплотилось представление о математике как единой науке. Качественная теория вобрала в себя идеи и методы самых разных разделов (топологии, функционального анализа, теории групп Ли и др.). Объединяющая роль качественной теории заключается в том, что в ней воплощаются две культуры в математике, одна из них направлена на решение задач, а другая – на построение и осмысление теорий. В этом отношении качественная теория не просто конкретный раздел, а своеобразный подход к математическим проблемам. Особенностью современного этапа является еще невиданное сближение с областью приложений, особенно с физикой. Физика является не просто потребителем, она стимулировала кардинальные изменения самой математики. Становится трудно провести различимую границу между некоторыми разделами математики и теоретической физики.Качественная теория преобразила облик всей математики и ее приложений.

The work is devoted to the study of the evolution of the main provisions of the qualitative theory, under the sign of which the development of all mathematics of the twentieth century took place. In the development of qualitative theory there are several stages with clearly defined trends: the formation of a qualitative theory, when new approaches, a new language and a system of concepts were formed (late 19th – 20s of the 20th century); the next stage is the widespread use of methods of topology and functional analysis, probabilistic representations and the expansion of qualitative theory with the allocation of independent areas (late 1920s – mid-twentiethcentury); from the middle of the twentieth century to the present – the modern stage. It is distinguished by the fact that the idea of mathematics as a single science was embodied in the qualitative theory. Qualitative theory has absorbed the ideas and methods of various branches (topology, functional analysis, the theory of Lie groups, etc.). The unifying role of a qualitative theory is that it embodies two cultures in mathematics, one of them is aimed at solving problems, and the other – at building and comprehending theories. In this respect, qualitative theory is not just a specific branch, but a peculiar approach to mathematical problems. A feature of the present stage is the still unprecedented convergence with the field of applications, especially with physics. Physics is not just a consumer, it has stimulated fundamental changes in mathematics itself. It becomes difficult to draw a distinguishable boundary between some branches of mathematics and theoretical physics. Qualitative theory has transformed the face of all mathematics and its applications.

качественная теориятопологиятопологическая инвариантностьдинамическая системалокальное и глобальное описание.qualitative theorytopologytopological invariancedynamical systemlocal and global description.Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 20-011-00402 А.Thе work was supported by the RFBR grant No. 20-011-00402 A.ReferencesSturm Ch. F. M´emoire sur une classe ´equations `a diff´erences partielles // J. Math. Pures etSturm Ch. F. M´emoire sur une classe ´equations `a diff´erences partielles // J. Math. Pures etAppl. 1836.V. 1. Pp. 373–444.Appl. 1836.V. 1. Pp. 373–444.Демидов С., Петрова С. С., Симонов Н. Н. Обыкновенные дифференциальные уравненияDemidov S. S., Petrova S. S., Simonov N. N. Ordinary differential equations // Mathematics of// Математика XIX в. М.: Наука, 1987. С. 80–183.XIX century. M .: Nauka, 1987. Pp. 80–183 (in Russian).Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. puresPoincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. pureset appl. S´er. 3. 1881. V. 7. Pр. 375–422; 1882. V. 8. Pр. 251–296; S´er. 4. 1885. V. 1. Pр.et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. Pp. 375–422; 1882. V. 8. Pp. 251–296; S´er. 4. 1885. V. 1. Pp. 167–244;–244; 1886. V. 2. Pр. 151–217. Рус. перевод: Пуанкарe А. О кривых, определяемыхV. 2. Pp. 151–217дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.Lyapunov A. M. The general problem of the stability of motion // Lyapunov A.M. Select. works:Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Ляпунов А. М. Избр. труды:works on the stability of motion. Moscow: Nauka, 2007. Pp. 27–298 (in Russian).работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 27–298.Iurato G. The dawning of the theory of equilibrium figures // archive: 1409.1823.Iurato G. The dawning of the theory of equilibrium figures // archive: 1409.1823.Jacobi C. G. ¨Uber die Figur des Gleichgewichts // Ann. Phys. Chem. 1834. Bd. 33. S. 229–233;Jacobi C. G. ¨Uber die Figur des Gleichgewichts // Ann. Phys. Chem. 1834. Bd. 33. Pp. 229–233;Gesammelte Werke. V. 2. Berlin : Verlag von G. Reimer, 1882–1891. S. 17–22.Gesammelte Werke. V. 2. Berlin : Verlag von G. Reimer, 1882–1891. S. 17–22.Poincar´e H. Sur l’´equilibre d’un masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta Math.Poincar´e H. Sur l’´equilibre d’un masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta Math.T. 7. Pp. 259–380 ; Oeuvres de Henri Poincar´e. T. VII. Paris: Gautier-Villars, 1952. Pp.T. 7. Pp. 259–380 ; Oeuvres de Henri Poincar´e. T. VII. Paris: Gautier-Villars, 1952. Pp.–140.–140.Bogatov E. M., Mukhin1 R. R. On the development of nonlinear integral equations at the earlyБогатов Е. М., Мухин Р.Р. О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннемstage and the contribution of domestic mathematics // Chebyshevskii sbornik, V. 22. N 3. Pp.этапе и вкладе отечественных математиков // Чебышевcкий сборник, 2021. T. 22, B. 3. C.–345 (in Russian).—345.Leibniz W. G. Selected passages from mathematical writings // Russian Mat. Survey. 1948. V.Лейбниц В. Г. Избранные отрывки из математических сочинений // УМН. 1948. Т. 3. В. 1Issue 1 (23). Pp. 165–204 (in Russian).(23). С. 165–204.Riemann B. Theorie der Abel’schen Functionen // Bernhard Riemann’s Gesammelte MathematischeРиман Б. Теория абелевых функций // Б. Риман. Сочинения. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 88–Werke und Wissenschaftlicher Nachlass. 1892. S. 88–144.Klein F. A Comparative Review of Recent Researchers in Geometry // Bull. New York Math.Klein F. A Comparative Review of Recent Researchers in Geometry // Bull. New York Math.Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических представлений (“Эрланген-Soc. 1893. V. 2. N 10. Pp. 215–240.ская программа”) // Об основаниях геометрии. Под ред. А. П. Нордена. М.: ГИТТЛ, 1956.Euler L. Elementa doctrinae solidorum (1758) // Euler Archive. 230. Pp. 109–141.С. 399–434.Betti E. Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni // Ann. Math. Pura Appl. 1870.Euler L. Elementa doctrinae solidorum (1758) // Euler Archive. 230. Pp. 109–141.V. 2/4. Pp. 140–158.Betti E. Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni // Ann. Math. Pura Appl. 1870.Jordan C. Sur la deformation des surfaces // J. Math. Pures et Appl. 1866. II s´er. T. 11. Pp.V. 2/4. Pp. 140–158.–5.Jordan C. Sur la deformation des surfaces // J. Math. Pures et Appl. 1866. II s´er. T. 11. Pp.Jordan C. Course d’Analyse. V. III. Paris, 1867. Pp. 587–594.–5.Poincar´e H. Analysis situs // J. Ecole Polytechniques. II s´er. 1895. Cahier 1. Pр. 1–121.Jordan C. Course d’Analyse. V. III. Paris, 1867. Pp. 587–594.Medvedev F.A. Founders of functional analysis // Histor.-mat. Research. 1973. V. XVIII. Pp.Poincar´e H. Analysis situs // J. Ecole Polytechniques. - II s´er. 1895. Cahier 1. - Pр. 1–121./–70 (in Russian).Рус. пер.: // А. Пуанкаре. Избр. труды: В 3 т. / Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 454–734.Frech´et M. G´en´eralisation d’un th´eor`eme de Weierstrass // Comp. Ren. Acad. Sci. 1904. V.Медведев Ф. А. Основоположники функционального анализа // Истор.- мат. исслед. 1973.Pp. 848–850.В. XVIII. С. 55–70.Frech´et M. Sur la quelques points du Calcul fonctionel // Rend. Circ. Math. Palermo. 1906. V.Frech´et M. G´en´eralisation d’un th´eor`eme de Weierstrass // Comp. Ren. Acad. Sci. 1904. V.Pp. 1–74.Pp. 848–850.Hilbert D. Grundz¨uge einer allgemeinen Theorie der loinearen Integralgleichungen III // Nachr.Frech´et M. Sur la quelques points du Calcul fonctionel // Rend. Circ. Math. Palermo. 1906. V.Ges. Wiss. G¨ottingen. 1905. S. 307–338.Pp. 1–74.Banach S. Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur applications aux ´equationsHilbert D. Grundz¨uge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen III // Nachr.int´egrales // Fund. Math. 1923. T. 3. Pp. 123–181.Ges. Wiss. G¨ottingen. 1905. S. 307–338.Banach S. Th´eorie des op´ertaions lin´eaires. Warrzawa, 1932. 259 p.Banach S. Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur applications aux ´equationsBrouwer L. E. J. ¨Uber ein eindeutige, stetige Transformationen von Fl¨achen in sich // J. Math.int´egrales // Fund. Math. 1923. T. 3. Pp. 123–181.Ann. 1910. Bd. 69. S. 176–180.Banach S. Th´eorie des op´ertaions lin´eaires. Warrzawa, 1932. 259 p.Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr¨aumen // Math. Zeitschr. 1927.Brouwer L. E. J. ¨Uber ein eindeutige, stetige Transformationen von Fl¨achen in sich // J. Math.Bd. 26. S. 47–65, 417–431.Ann. 1910. Bd. 69. S. 176–180.Schauder J. ¨Uber lineare, vollstetige Operationen // Studia. Math. 1930. Bd. 2. S. 183–196.Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr¨aumen // Math. Zeitschr. 1927.Leray J., Schauder J. Topologie et ´equations fonctionelles // Ann. Ec. Norm. Sup. 1934. V. 3Bd. 26. S. 47–65, 417–431.(51). Pp. 43–78.Schauder J. ¨Uber lineare, vollstetige Operationen // Studia. Math. 1930. Bd. 2. S. 183–196.Bernoulli J. Ars Conjectandi. Basileae: Impensis Thurnisiorum, Fratrum, 1713. 358 p.Leray J., Schauder J. Topologie et ´equations fonctionelles // Ann. Ec. Norm. Sup. 1934. V. 3Kolmogorov A. N. General measure theory and probability calculus // Kommun. Academy, Sat.(51). Pp. 43–78.works of math. sec. 1929. V. 1. Pp. 8–21 (in Russian).Бернулли Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986. 176 с.Kolmogorov A. N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrehung. Berlin: Springer-Verl., 1933.Колмогоров А. Н. Общая теория меры и исчисление вероятностей // Коммун. академия,S.Сб. работ матем. раздела. 1929. Т. 1. С. 8–21.Birkhoff G. D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 P.Kolmogorov A. N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrehung. Berlin: Springer-Verl., 1933.Poincar´e H. Les m´ethodes nouvelles de la m´ecanique c´eleste. Paris: Gauthier-Villars T. 1. 1892.S.p; T. 2. 1893. 476 P.Birkhoff G. D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p. / Рус.Hopf E. Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verl. 1937. IV + 835 S.пер.: Дж. Биркгоф Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.Neumann J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1932.Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. // Избр. труды: В 3 т. / М.: Наука, 1971.V. 18. Pр. 70–82.Т. 1. 772 с.; 1972. Т. 2. 998 с.Birkhoff G. D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of theHopf E. Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verl. 1937. IV + 835 S. То же : Хопф Э. Эргодиче-ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. V. 17. Pр. 650–660.ская теория // УМН. 1949. Т. 4. В. 1. С. 113–182.Kryloff N., Bogoliouboff N. La th´eorie g´en´erale de la mesure dans son applications a l’´etude desNeumann J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1932.syst`eme dynamiques de la m´ecanique non lineaire // Ann. Math. 1937. V. 38. Pр. 65–113.V. 18. Pр. 70–82.Gibbs J. W. Elementary principles in statistical mechanics. N.Y.: C. Schribner, 1902. 207 p.Birkhoff G. D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of theZaslavsky G. M. Stochasticity of dynamical systems. M.: Nauka, 1984. 272 p. (in Russian).ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. V. 17. Pр. 650–660.Rokhlin V. A. A generalization of a measure-preserving transformation that is not a mixing //Kryloff N., Bogoliouboff N. La th´eorie g´en´erale de la mesure dans son applications a l’´etude desRep. Acad. Sci. USSR. 1949. T. 13. Pp. 329–340 (in Russian).syst`eme dynamiques de la m´ecanique non lineaire // Ann. Math. 1937. V. 38. Pр. 65–113. /Kolmogorov A. N. A new metric invariant of transitive dynamical systems and automorphismsРус. пер. в кн.: Н.Н.Боголюбов. Избр. труды. Т. 1. Киев: Наукова думка, 1969. С. 411–463.of Lebesgue spaces // Rep. Acad. Sci. USSR. 1958. № 5. Pр. 861–864 (in Russian).Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики // Дж.В. Гиббс. Термодина-Kolmogorov A. N. On entropy per unit time as a metric invariant of automorphisms // Rep.мика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982. С. 350–509.Acad. Sci. USSR. 1959. Т. 124. № 4. Рр. 754–755 (in Russian).Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 272 с.Sinai Ya. G. Written communication on 26.03.2007.Рохлин В. А. Обобщение сохраняющего меру преобразования, не являющегося перемеши-Sinai Ya. G. On the concept of the entropy of dynamical systems // Rep. Acad. Sci. USSR.ванием // ДАН СССР. 1949. Т. 13. С. 329–340.T. 124. № 4. Pр. 768–771 (in Russian).Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем иPesin Ya. B. Characteristic Lyapunov exponents and smooth ergodic theory // Russian Mat.автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. Т. 119. № 5. С. 861–864.Survey. 1977. T. 32. V. 4. Pp. 55–112 (in Russian).Колмогоров А. Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автомор-Kolmogorov A. N. General theory of dynamical systems and classical mechanics // Selectedфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 4. С. 754–755.works of A.N. Kolmogorov. V. 1. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1991. Pp. 355–375.Синай Я. Г. Письменное сообщение от 26.03.2007.Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equationsСинай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 4.// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1961. V. 47. Pр. 1824–1831.С. 768–771.Arnold V. I. Proof of A. N. Kolmogorov’s theorem on the conservation of conditionally periodicПесин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория //motions with a small change in the Hamilton function // Russian Mat. Survey. 1963. T. 18. V.УМН. 1977. Т. 32. В. 4. С. 55–112.Рр. 13–40 (in Russian).Колмогоров А. Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Proc.Anosov D. V. On the development of the theory of dynamical systems over the last quarter ofIntern. Congr. Math. 1954. Amsterdam. V. 1. P. 315–333. / То же в кн.: А.Н.Колмогоров.a century // Student readings of the MK IMU. Issue. 1. M.: MTsNMO, 2000. Pp. 74–192 (inМатематика и механика. М.: Наука, 1985. С. 316–332.Russian).Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equationsAnosov D. V. Dynamical Systems in the 1960s: The Hyperbolic Revolution // Mathematical// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1961. V. 47. Pр. 1824–1831.events of the twentieth century. Springer, 2006. Pp. 1–17.Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохрwанении условно-Yoccoz J.-C. Recent developments in Dynamics // Proc. Int. Congress Mathematicians, V. 1,периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т.Zurich: Birkhauser, 1995. Pр. 246–265.В. 5. С. 13–40.Bour J. Sur l’integration des ´equations diff´erentielles de la M´ecanique Analytic // J. Math.Аносов Д. В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века //Pure et Appl. 1855. V. 20. Pр. 185–200.Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2000. С. 74–192.Liouville J. Remarques nouvelles sur l’´equation de Riccati // J. Math. Pures et Appl. 1841.Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // Матема-Pр. 1–13, 36.тические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 1–18.Liouville J. Note `a l’occasion du memoire pr´ecident de M. Edmond Bour // J. Math. Pure etЙоккоз Ж.К. Недавнее развитие динамики // Международный конгресс математиков вAppl. 1855. V. 20. Pр. 201–202.Цюрихе. Избран. доклады. М.: Мир, 1999. С. 349–380.Kozlov V. V. Integrability and non-integrability in Hamiltonian mechanics // Russian Mat.Bour J. Sur l’integration des ´equations diff´erentielles de la M´ecanique Analytic // J. Math.Survey. 1983. T. 38. V. 1. Pp. 3–67 (in Russian).Pure et Appl. 1855. V. 20. Pр. 185–200.Kozlov V. V. Symmetry, topology and resonances in Hamiltonian mechanics. Izhevsk: UdmurtLiouville J. Remarques nouvelles sur l’´equation de Riccati // J. Math. Pures et Appl. 1841.Univ. Publ. House, 1995. 430 p. (in Russian).Pр. 1–13, 36.Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist //Liouville J. Note `a l’occasion du memoire pr´ecident de M. Edmond Bour // J. Math. Pure etPhys. Zs. 1923. B. 24. S. 261–265.Appl. 1855. V. 20. Pр. 201–202.Fermi E., Pasta J., Ulam S. Study of Nonlinear Problems // Studies of Nonlinear Problems. I.Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН.Los Alamos Report. LA, 1940. 1955.Т. 38. В. 1. С. 3–67.Zabusky N. J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrenceКозлов В. В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. Pp. 240–243.во Удмурт. ун-та, 1995. 430 с.Solitons. M.: Mir, 1983. 408 p. (in Russian).Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist //Gelfand I. M. On elliptic equations // Russian Mat. Survey. 1960. T. 15. V. 3 (93). Pp. 121–132.Phys. Zs. 1923. B. 24. S. 261–265. / Рус. пер.: Э. Ферми . Науч. труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.(in Russian).С. 115–123.Shvartz A. S. Quantum field theory and topology. M.: Nauka, 1989. 400 p. (in Russian).Fermi E., Pasta J., Ulam S. Study of Nonlinear Problems // Studies of Nonlinear Problems. I.Atiyah M., Singer I. M. The index of elliptic operators on compact manifolds // Bull. AMS.Los Alamos Report. LA, 1940. 1955. / Рус. пер.: Э. Ферми. Науч. труды. Т. 2. М.: Наука,V. 69. N 3. Pp. 422–433.С. 647–656.Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem // Comm. Math.Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrencePhys. 1983. V. 90. Pp. 161–173.of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. Pp. 240–243.Monastyrsky M. I. Modern Mathematics in the Reflection of the Fields Medals. M.: Janus-K,Солитоны. М.: Мир, 1983. 408 с.200 p. (in Russian).Гельфанд И. М. Об эллиптических уравнениях // УМН. 1960. Т. 15. В. 3 (93). С. 121–132.Singer I. M. Future extensions of index theory and elliptic operators // Prosp. Math. Ann.Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. М.: URSS, 400 с.Math. Soc. 1971. N 70. Pp. 171–185.Atiyah M., Singer I. M. The index of elliptic operators on compact manifolds // Bull. AMS.Atiyah M. The Dirac equation and geometry // Paul Dirac. The Man and hisWork. Cambridge:V. 69. N 3. Pp. 422–433.CUP, 1998. Pp. 108–124.Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem // Comm. Math.Atiyah and Singer Receive 2004 Abel Prize // Notices AMS. 2004. V. 51. N 6. Pp. 649–650.Phys. 1983. V. 90. Pp. 161–173.Donaldson S. Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds // Bull. AMS.Монастырский М. И. Современная математика в отблеске медалей Филдса. М.: Янус-К,V. 8. Pp. 81–83.200 с.Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.Singer I. M. Future extensions of index theory and elliptic operators // Prosp. Math. Ann.Bourbaki N. Essays on the history of mathematics. M.: Foreign Literature Publ House, 1963.Math. Soc. 1971. N 70. Pp. 171–185.p. (in Russian).Atiyah M. The Dirac equation and geometry // Paul Dirac. The Man and hisWork. Cambridge:Atiyah M. Trends in Pure Mathematics // Proc. 3rd Int. Congr. In Math. Education. 1977.CUP, 1998. Pp. 108–124.Pp. 61–74.Atiyah and Singer Receive 2004 Abel Prize // Notices AMS. 2004. V. 51. N 6. Pp. 649–650.Prigogine I. From being to becoming : time and complexity in the physical sciences. SanDonaldson S. Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds // Bull. AMS.Francisco : W. H. Freeman, 1980. 262 p.V. 8. Pp. 81–83.Lotman Yu. M. Semiosphere. St. Petersburg: Art-SPB, 2000. 704 p. (in Russian).Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963. 292 с.Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963. 292 с.Atiyah M. Trends in Pure Mathematics // Proc. 3rd Int. Congr. In Math. Education. 1977.Atiyah M. Trends in Pure Mathematics // Proc. 3rd Int. Congr. In Math. Education. 1977.Pp. 61–74.Pp. 61–74.Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических на-Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических на-уках. М.: Наука, 1985. 328 с.уках. М.: Наука, 1985. 328 с.Лотман Ю.М. Семиосфера. С.-Петербург: «Искусство—СПБ», 2000. 704 с.Лотман Ю.М. Семиосфера. С.-Петербург: «Искусство—СПБ», 2000. 704 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.