chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-152-160cheb-1414Research ArticleКраткие сообщенияПро непрерывность одной операции с выпуклыми компактами в конечномерных нормированных пространствахAbout the continuity of one operation with convex compacts in finite–dimensional normed spacesГалстянАрсен ХачатуровичGaltyanArsen Khachaturovich

аспирант

postgraduate student

ares.1995@mail.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202217012023235152160Copyright © Галстян А.Х., 20232023Галстян А.Х.Galtyan A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1414

В данной работе изучается деформация пересечения одного компакта с замкнутой окрестностью другого компакта посредством изменения радиуса этой окрестности. Показано, что в конечномерных нормированных пространствах в случае, когда оба компакта являются непустыми выпуклыми подмножествами, такая операция непрерывна в топологии, порождённой метрикой Хаусдорфа.Вопрос непрерывной зависимости описанного пересечения от радиуса окрестности возник в качестве побочного продукта развития теории экстремальных сетей. Однако он оказался интересным сам по себе, предполагающим различные обобщения. Поэтому было решено опубликовать его отдельно.

In this paper, we study the deformation of the intersection of one compact set with a closed neighborhood of another compact set by changing the radius of this neighborhood. It is shown that in finite–dimensional normed spaces, in the case when both compact sets are non-empty convex subsets, such an operation is continuous in the topology generated by the Hausdorff metric.The question of the continuous dependence of the described intersection on the radius of the neighborhood arose as a by–product of the development of the theory of extremal networks.However, it turned out to be interesting in itself, suggesting various generalizations. Therefore, it was decided to publish it separately.

метрическая геометриявыпуклые множестварасстояние Хаусдорфанепрерывные деформации.metric geometryconvex setsHausdorff distancecontinuous deformations.Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект No. 21-11-00355) в МГУ имени М. В. Ломоносова. Автор является стипендиатом Фонда развития теоретической физики и математики «БА- ЗИС» (договор No. 21-8-3-3-1).ReferencesКанторович Л. В. Математические методы организации планирования производства //Kantorovich, L. V. 1939, Mathematical methods of organization of production planning, EditionЛенинград: Издание Ленинградского государственного университета, 1939. 68 с.of the Leningrad State University, Leningrad, p. 68.Ахо А. В., Лам М. С., Сети Р., Ульман Д. Д. Компиляторы: принципы, технологии иAho, A. V., Lam, M. S., Seti, R. & Ulman, D. D. 2008, Compilers: principles, technologies andинструментарий, 2–е изд.: Пер. с англ. // М.: ООО “И. Д. Вильямс”, 2008. 1184 с.tools, 2–nd ed. : Trans. from English, OOO “I. D. Villiams”, Moscow, p. 1184.Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техн.Gabasov, R. & Kirillova, F. M. 1976, “Optimal control methods”, Itogi nauki i tekhniki. Ser.Сер. Соврем. пробл. мат., 1976. Т. 6. — С. 133–259.Sovr. prob. mat., vol 6, pp. 133–259.Шевченко В. Н., Золотых Н. Ю. Линейное и целочисленное линейное программированиеShevchenko, V. N. & Zolotykh, N. Yu. 2004 Linear and integer linear programming, Publishing// Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачев-house of the Lobachevsky Nizhny Novgorod State University, Nizhny Novgorod, p. 150.ского, 2004. 150 с.Lenstra, H. W. 1983, “Integer Programming with a Fixed Number of Variables”, MathematicsLenstra H. W. Integer Programming with a Fixed Number of Variables // Mathematics ofof Operations Research, vol 8, no. 4, pp. 538–548.Operations Research, 1983. Vol 8, No. 4. — pp. 538–548.Kannan, R. 1987 “Minkowski’s Convex Body Theorem and Integer Programming”, MathematicsKannan R. Minkowski’s Convex Body Theorem and Integer Programming // Mathematics ofof Operations Research, vol. 12, pp. 415–440.Operations Research, 1987. Vol. 12. — pp. 415–440.Glover, F. 1990 “Tabu search–Part II”, ORSA Journal on Computing, vol. 2, no. 1, pp. 4–32.Glover F. Tabu search–Part II // ORSA Journal on Computing, 1990. Vol. 2, No. 1. — pp.Williams, H. P. 2009 Logic and integer programming, Springer New York, NY, p. 200.–32.Gardner, R. J., Hug D. & Weil W. 2013 “Operations between sets in geometry”, J. Eur. Math.Williams H. P. Logic and integer programming // NY: Springer New York, 2009. P. 200.Soc., vol. 15, no. 6, pp. 2297–2352.Gardner R. J., Hug D., Weil W. Operations between sets in geometry // J. Eur. Math. Soc.,Mendelson, B. 1990 Introduction to topology, Dover Publications, p. 206.Vol. 15, No. 6. — pp. 2297–2352.Burago, D., Burago, Yu. & Ivanov, S. 2004 A course in metric geometry, Institute for ComputerMendelson B. Introduction to topology // Dover Publications, 1990. P. 206.Research, Moscow–Izhevsk, p. 512.Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии // Москва-Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2017 Geometry of Hausdorff and Gromov–Hausdorff distances:Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 512 с.the case of compact sets, Faculty of mechanics and mathematics of MSU, Moscow, p. 111.Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа:Alimov, A. R. & Tsarkov, I. G. 2014 “Connection and other geometric properties of suns andслучай компактов // M.: Издательство Попечительского совета механико-математическогоChebyshev sets”, Fundamental and applied mathematics, vol. 19, no. 4, pp. 21–91.факультета МГУ, 2017. 111 с.Leonard, I. E. & Lewis, J. E. 2015 Geometry of convex sets, Wiley, p. 336.Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и другие геометрические свойства солнц и чебы-Galstyan, A. Kh., Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2021 “The Fermat–Steiner problem in theшёвских множеств // Фундаментальная и прикладная математика, 2014. Vol. 19, No. 4. —space of compact subsets of R𝑚 endowed with the Hausdorff metric”, Sb. Math., vol. 212, no. 1,pp. 21–91.pp. 25–56.Leonard I. E., Lewis J. E. Geometry of convex sets // Wiley, 2015. P. 336.Leonard I. E., Lewis J. E. Geometry of convex sets // Wiley, 2015. P. 336.Galstyan A. Kh., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. The Fermat–Steiner problem in the space ofGalstyan A. Kh., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. The Fermat–Steiner problem in the space ofcompact subsets of R𝑚 endowed with the Hausdorff metric // Sb. Math., 2021. Vol. 212, No. 1.compact subsets of R𝑚 endowed with the Hausdorff metric // Sb. Math., 2021. Vol. 212, No. 1.— pp. 25–56.— pp. 25–56.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.