chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-145-151cheb-1413Research ArticleКраткие сообщенияО пересечении двух однородных последовательностей БиттиOn the intersection of two homogeneous Beatty sequencesБегунцАлександр ВладимировичBeguntsAlexander Vladimirovich

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor

alexander.begunts@math.msu.ruГоряшинДмитрий ВикторовичGoryashinDmitry Victorovich

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor

dmitry.goryashin@math.msu.ruМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет имени М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202217012023235145151Copyright © Бегунц А.В., Горяшин Д.В., 20232023Бегунц А.В., Горяшин Д.В.Begunts A.V., Goryashin D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1413

Однородными последовательностями Битти называют последовательности вида 𝑎𝑛 = [𝛼𝑛], где 𝛼 — положительное иррациональное число. В 1957 г. Т. Сколем показал, чтоесли числа 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы над полем рациональных чисел, то последовательности [𝛼𝑛] и [𝛽𝑛] имеют бесконечно много общих членов. Т. Банг усилил этот результат:пусть 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) — количество натуральных чисел 𝑘, 1 <= 𝑘 <= 𝑁, принадлежащих одновременно двум последовательностям Битти [𝛼𝑛] и [𝛽𝑚] и числа 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимынад полем рациональных чисел, тогда 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) ∼ 𝑁𝛼𝛽 при 𝑁 → ∞.В работе доказывается уточнение этого результата для случая алгебраических чисел.Пусть 𝛼, 𝛽 > 1 — такие иррациональные алгебраические числа, что 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогда для любого 𝜀 > 0 справедлива асимптотическая формула 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) = 𝑁/𝛼𝛽 + 𝑂(︀𝑁^((1/2)+𝜀))︀.

Homogeneous Beatty sequences are sequences of the form 𝑎𝑛 = [𝛼𝑛], where 𝛼 is a positive irrational number. In 1957 T. Skolem showed that if the numbers 1, 1/𝛼, 1/𝛽 are linearly independent over the field of rational numbers, then the sequences [𝛼𝑛] and [𝛽𝑛] have infinitely many elements in common. T. Bang strengthened this result: denote 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) the number of natural numbers 𝑘, 1 <= 𝑘 <= 𝑁, that belong to both Beatty sequences [𝛼𝑛], [𝛽𝑚], and the numbers 1, 1/𝛼, 1/𝛽 arelinearly independent over the field of rational numbers, then 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) ∼ 𝑁 𝛼𝛽 for 𝑁 → ∞.In this paper, we prove a refinement of this result for the case of algebraic numbers. Let 𝛼, 𝛽 > 1 be irrational algebraic numbers such that 1, 1/𝛼, 1/𝛽 are linearly independent over the field of rational numbers. Then for any 𝜀 > 0 the following asymptotic formula holds:𝑆𝛼,𝛽(𝑁) = 𝑁/𝛼𝛽 + 𝑂(︀𝑁^((1/2)+𝜀))︀, 𝑁 → ∞.

однородная последовательность Биттитригонометрические суммыасимптотическая формула.homogeneous Beatty sequenceexponential sumsasymptotic formula.ReferencesBeatty S. Problem 3173 // American Mathematical Monthly, 33 (3), 1926, p. 159.Beatty, S., 1926, “Problem 3173”, American Mathematical Monthly, vol. 33, no. 3, p. 159.Бегунц А. В., Горяшин Д. В. Актуальные задачи, связанные с последовательностями Бит-Begunts, A. V., Goryashin, D. V., 2017, “Topical problems concerning Beatty sequences”,ти // Чебышевский сборник. 18. Вып. 4. 2017. 97—105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-4-Chebyshevskii Sb., vol. 18, no. 4, pp. 97–105. doi: 10.22405/2226-8383-2017-18-4-97-105-105Technau, M., 2018, “On Beatty sets and some generalisations thereof ”, W¨urzburg, W¨urzburgTechnau, M., 2018, “On Beatty sets and some generalisations thereof”, W¨urzburg, W¨urzburgUniversity Press. urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303University Press. doi: 10.25972/WUP-978-3-95826-089-4Skolem, Th., 1957, “On certain distributions of integers in pairs with given differences”, Math.Skolem, Th. On certain distributions of integers in pairs with given differences // Math. Scand.Scand., vol. 5, pp. 57–68.(1957), 57–68.Bang, T., 1957, “On the sequence [𝑛𝛼], 𝑛 = 1, 2, 3 . . .. Supplementary note to the preceding paperBang, T. On the sequence [𝑛𝛼], 𝑛 = 1, 2, 3 . . .. Supplementary note to the preceding paper byby Th. Skolem”, Math. Scand., vol. 5, pp. 69–76.Th. Skolem // Math. Scand. 5 (1957), 69–76.Arkhipov, G. I., Sadovnichii, V. A., Chubarikov, V. N., 2004, “Lectures in mathematical analysis”,Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу:-d ed., Moscow, Drofa. 640 p. (In Russian.)-е изд., перераб. и доп. — М.: Дрофа, 2004. 640 c.Schmidt, Wolfgang M., 1967, “On simultaneous approximations of two algebraic numbers byШмидт, Вольфганг М. О совместных приближениях двух алгебраических чисел рациональ-rationals”, Acta Math., vol. 119, no. 1–2 (1967), 27—60.ными // Математика, 1971, том 15, выпуск 3, 3–25.Kuipers, L., Niederreiter, H., 1974, Uniform Distribution of Sequences, Wiley, New York.Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей: Пер. с ан-Beck, J., 1994, “Probabilistic Diophantine Approximation, I. Kronecker Sequences”, Annals ofгл. — М.: Наука, 1985. — 408 с.Mathematics, Second Series, vol. 140, no. 2 (Sep., 1994), pp. 449 + 451–502.Beck, J. Probabilistic Diophantine Approximation, I. Kronecker Sequences // Annals ofBeck, J. Probabilistic Diophantine Approximation, I. Kronecker Sequences // Annals ofMathematics, Sep., 1994, Second Series, Vol. 140, No. 2 (Sep., 1994), pp. 449+451-502.Mathematics, Sep., 1994, Second Series, Vol. 140, No. 2 (Sep., 1994), pp. 449+451-502.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.