старший преподаватель
senior lecturer
Рассмотрим задачу𝐿𝑢(⃗𝑥) = 𝑓(⃗𝑥),𝑢(⃗𝑥)⃒⃒𝜕𝐺𝑠= 𝑔(⃗𝑥),где 𝑓(⃗𝑥), 𝑔(⃗𝑥) ∈ 𝐸𝛼𝑠 , 𝐿 — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, 𝐺𝑠 — единичный куб [0; 1]𝑠.Её решение сводится к отысканию минимума функционала𝑣(𝑢(⃗𝑥)) =∫︁. . .𝐺𝑠∫︁ 𝐹 (⃗𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥1 , . . . , 𝑢𝑥𝑠 ) 𝑑𝑥1 . . . 𝑑𝑥𝑠при заданных граничных условиях.Значения функционала 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) в методе Ритца рассматриваются не на множестве всех допустимых функций 𝑢(⃗𝑥), а на линейных комбинациях 𝑢(⃗𝑥) = 𝑊0(⃗𝑥) + Σ︁𝑛 𝑘=1 𝑤𝑘𝑊𝑘(⃗𝑥),где 𝑊𝑘(⃗𝑥) — некоторые базисные функции, которые будем находить с помощью теоретико-числовой интерполяции, причём 𝑊0(⃗𝑥) — функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, а остальные 𝑊𝑘(⃗𝑥) удовлетворяют однородным граничным условиям.На этих полиномах данный функционал превращается в функцию 𝜙( ⃗𝑤) от коэффициентов 𝑤1, . . . ,𝑤𝑛. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция 𝜙( ⃗𝑤) достигала экстремума. При некоторых ограничениях на функционал 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) и базисные функции 𝑊𝑘(⃗𝑥) получим приближённое решение краевой задачи.
Consider the problem𝐿𝑢(⃗𝑥) = 𝑓(⃗𝑥),𝑢(⃗𝑥)⃒⃒𝜕𝐺𝑠= 𝑔(⃗𝑥),where 𝑓(⃗𝑥), 𝑔(⃗𝑥) ∈ 𝐸𝛼𝑠 , 𝐿 is a linear differential operator with constant coefficients, 𝐺𝑠 is theunit cube [0; 1]𝑠.Its solution is reduced to finding the minimum of the functional𝑣(𝑢(⃗𝑥)) =∫︁. . .𝐺𝑠∫︁ 𝐹 (⃗𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥1 , . . . , 𝑢𝑥𝑠 ) 𝑑𝑥1 𝑙𝑑𝑜𝑡𝑠𝑑𝑥𝑠under given boundary conditions.The values of the functional 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) in the Ritz method are considered not on the set of all admissible functions 𝑢(⃗𝑥), but on linear combinations 𝑢(⃗𝑥) = 𝑊0(⃗𝑥) + Σ︁(𝑛 𝑘=1) 𝑤𝑘𝑊𝑘(⃗𝑥),where 𝑊𝑘(⃗𝑥) are some basic functions that we will find using number-theoretic interpolation, and 𝑊0(⃗𝑥) is a function that satisfies the given boundary conditions, and the rest 𝑊𝑘(⃗𝑥) satisfyhomogeneous boundary conditions.On these polynomials, this functional turns into a function 𝜙( ⃗𝑤) of the coefficients 𝑤1, . . . ,𝑤𝑛. These coefficients are chosen so that the function 𝜙( ⃗𝑤) reaches an extremum.Under some restrictions on the functional 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) and the basis functions 𝑊𝑘(⃗𝑥), we obtain an approximate solution of the boundary value problem.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.