chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-87-100cheb-1409Research ArticleСтатьиArticleО совместных приближениях логарифмов простых чиселOn simultaneous approximations to the logarithms of primesКоролёвМаксим АлександровичKorolevMaxim Aleksandrovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

korolevma@mi-ras.ruРезвяковаИрина СергеевнаRezvyakovaIrina Sergeevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

rezvyakova@mi-ras.ruМатематический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наукРоссияSteklov Mathematical Institute of Russian Academy of SciencesRussian FederationМатематический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наукРоссияSteklov Mathematical Institute of Russian Academy of SciencesRussian Federation20221701202323587100Copyright © Королёв М.А., Резвякова И.С., 20232023Королёв М.А., Резвякова И.С.Korolev M.A., Rezvyakova I.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1409

В первой части статьи модификация элементарного метода Э. Ч. Титчмарша применяется к доказательству локальной теоремы Кронекера. Для произвольной конечной последовательности ¯𝜆 = (𝜆1, . . . , 𝜆𝑟) вещественных чисел, линейно независимых над полем Q, и для любого 𝜀 > 0 этот метод даёт явную верхнюю оценку величины ℎ = ℎ(𝜀,¯𝜆) такой, что для всякой последовательности ¯𝛼 = (𝛼1, . . . , 𝛼𝑟) любой интервал длины ℎ содержит точку 𝑡 такую, что ‖𝑡𝜆𝑠 − 𝛼𝑠‖ <= 𝜀, 1 <= 𝑠 <= 𝑟. Эта оценка уступает по точности наилучшей известной на сегодняшний день, однако проста в выводе и в приложениях приводит, по сути, к результатам той же точности, что и наилучшая.Во второй части помещены воспоминания авторов об академике Алексее Николаевиче Паршине.

In the first part of the paper, a modification of elementary Titchmarsh’s method is applied to the proof of the local Kronecker’s theorem. For any finite real sequence ¯𝜆= (𝜆1, . . . , 𝜆𝑟) of linearly independent (over Q) numbers and for any 𝜀 > 0, this method leads to the explicit upper bound of the value ℎ = ℎ(𝜀,¯𝜆) with the following property: for any real sequence ¯𝛼 = (𝛼1, . . . , 𝛼𝑟), any interval of the length ℎ contains a point 𝑡 such that ‖𝑡𝜆𝑠 − 𝛼𝑠‖ <= 𝜀, 1 <= 𝑠 <= 𝑟. Such estimate is weaker than the best known, but it’s proof is quite simple and leadsto the same (in essence) results in the applications.The second part contains the short memoirs concerning the academician Alexey NikolaevichParshin who passed away on June, 18 this year.

локальная теорема Кронекерасовместные приближениялогарифмы простых чиселбесквадратные числа.local Kronecker’s theoremsimultaneous approximationslogarithms of primessquarefree numbers.Исследование первого автора выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11- 00001) в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук.ReferencesKronecker L., N¨aherungsweise ganzzahlige Aufl¨osung linearer Gleichungen // Monats. K¨onigl.Kronecker L. 1884, “N¨aherungsweise ganzzahlige Aufl¨osung linearer Gleichungen”, Monats.Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 1884. S. 1179-1193, 1271-1299.K¨onigl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. S. 1179-1193, 1271-1299.Leopold Kronecker’s Werke, Hensel K. (ed.), Vol. III, Teubner, Leipzig, 1899.Hensel K. (ed.) 1899, Leopold Kronecker’s Werke, Vol. III, Teubner, Leipzig.Hardy G. H., Wright E. M., An introduction to the theory of numbers (4th ed.). ClarendonHardy G. H., Wright E. M. 1975, An introduction to the theory of numbers (4th ed.). ClarendonPress, Oxford, 1975.Press, Oxford.Tur´an P., A theorem on diophantine approximation with application to Riemann zeta-functionTur´an P. 1960, “A theorem on diophantine approximation with application to Riemann zetafunction”,// Acta Sci. Math. (Szeged). 1960. Vol. 21. P. 311-318.Acta Sci. Math. (Szeged)., vol. 21. P. 311-318.Gonek S. M., Montgomery H. L., Kronecker’s approximation theorem // Indag. Math. (N.S.)Gonek S. M., Montgomery H. L. 2016, “Kronecker’s approximation theorem”, Indag. Math.Vol. 27. № 2. P. 506–523.(N.S.), vol. 27, № 2. P. 506–523.Титчмарш Е.К., Теория дзета-функции Римана. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.Titchmarsh E. C. 1986, The Theory of the Riemann Zeta-function. 2nd ed. (revised byBohr H., Again the Kronecker Theorem, // J. Lond. Math. Soc. 1934. Vol. 9. P. 5–6.D.R. Heath-Brown). Clarendon Press, Oxford.Конягин С. В., Королёв М. А., О явлении Титчмарша в теории дзета-функции РиманаBohr H. 1934, “Again the Kronecker Theorem”, J. Lond. Math. Soc., vol. 9. P. 5–6.// Теория приближений, функциональный анализ и приложения, Сборник статей. К 70-Konyagin S. V., Korolev M. A. 2022, “On the Titchmarsh’s phenomenon in the theory ofлетию академика Бориса Сергеевича Кашина, Труды МИАН, 318, МИАН, М., 2022. С.the Riemann zeta-function”, Approximation Theory, Functional Analysis, and Applications,-201.Collected papers. On the occasion of the 70th birthday of Academician Boris Sergeevich Kashin,Besikovitch A. S., On the linear independence of fractional powers of integers // J. LondonTrudy Mat. Inst. Steklova, 318, Steklov Math. Inst., Moscow. P. 182-201.Math. Soc. 1940. Vol. 15. P. 3-6.Besikovitch A. S. 1940, “On the linear independence of fractional powers of integers”, J. LondonЧандрасекхаран К., Арифметические функции. М.: Наука, 1975.Math. Soc., vol. 15. P. 3-6.Selberg A., On the remainder term in the lattice point problem of the circle. Manuscript.Chandrasekharan K. 1970, Arithmetical Functions. Springer-Verlag, Berlin.http://publications.ias.edu/selberg/section/2494Selberg A., “On the remainder term in the lattice point problem of the circle”. Manuscript.Heath-Brown D. R., The distribution and moments of the error term in the Dirichlet divisorhttp://publications.ias.edu/selberg/section/2494problem // Acta Arith. 1992. Vol. 60. № 4. P. 389-415.Heath-Brown D. R. 1992, “The distribution and moments of the error term in the DirichletКоролёв М. А., Попов Д. А., Об интеграле Ютилы в проблеме круга // Изв. РАН. Сер.divisor problem”, Acta Arith., vol. 60, № 4. P. 389-415.матем. 2022. Vol. 86. № 3. P. 3-46.Korolev M. A., Popov D. A. 2022, “On Jutila’s integral in the circle problem”, Izv. Math., vol.Бухштаб А. А., Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960., № 3. P. 413-455.Mordell L. J., On the linear independence of algebraic numbers // Pacific J. Math. 1953. Vol.Buhshtab A. A. 1960, Number Theory (in Russian). Uchpedgiz, Moscow.№ 3. P. 625-630.Mordell L. J. 1953, “On the linear independence of algebraic numbers”, Pacific J. Math., vol. 3,Хуа Л.-К., Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел. М.: Мир,№ 3. P. 625-630.Hua L.-K. 1959, Absch¨atzungen von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie.Hua L.-K. 1959, Absch¨atzungen von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie.Teubner-Verlag., Leipzig.Teubner-Verlag., Leipzig.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.