chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-72-86cheb-1408Research ArticleСтатьиArticleПроблема Ферма — Торричелли в случае трёх точек в нормированных плоскостяхThe Fermat–Torricelli problem in the case of three-point sets in normed planesИлюхинДаниил АлександровичIlyukhinDaniil Alexandrovich

студент

student

daniil.ilukhin@math.msu.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2022170120232357286Copyright © Илюхин Д.А., 20232023Илюхин Д.А.Ilyukhin D.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1408

В статье изучается проблема Ферма — Торричелли: задача поиска точки, минимизирующей сумму расстояний от неё до некоторых заданных точек в нормированном пространстве. Рассмотрены различные обобщения данной задачи, а также изложены актуальные методы решения и некоторые последние результаты в этой области. Целью работы является поиск ответа на следующий вопрос: в каких нормах на плоскости решение задачи Ферма— Торричелли единственно для любых трёх точек. В работе сформулирован и доказан критерий единственности, кроме того показано применение полученного критерия на нормах, задаваемых правильными многоугольниками, так называемых лямбда-плоскостях.

In the paper the Fermat–Torricelli problem is considered. The problem asks a point minimizing the sum of distances to arbitrarily given points in d-dimensional real normed spaces.Various generalizations of this problem are outlined, current methods of solving and some recent results in this area are presented. The aim of the article is to find an answer to the following question: in what norms on the plane is the solution of the Fermat–Torricelli problem unique for any three points. The uniqueness criterion is formulated and proved in the work, in addition, the application of the criterion on the norms set by regular polygons, the so-called lambda planes, is shown.

проблема Ферма — Торричеллинормирующий функционаллямбда- плоскость.Fermat–Torricelli problemnorming functionallambda-plane.Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 21-11-00355 в МГУ имени М. В. ЛомоносоваReferencesBajaj C. The algebraic degree of geometric optimization problems. // 1988. Discr. Comput.Bajaj C. 1988, “The algebraic degree of geometric optimization problems.“, Discr. Comput.Geom., 3, 177–191.Geom., 3, 177–191.Bannikova A. G., Ilyutko D.P., Nikonov I. M. The Length of an Extremal Network in a NormedBannikova A. G., Ilyutko D.P., Nikonov I. M. 2016, “The Length of an Extremal Network in aSpace: Maxwell Formula // 2016. Journal of Mathematical Sciences, 214:5, 593–608.Normed Space: Maxwell Formula“, Journal of Mathematical Sciences, 214:5, 593–608.Boltyanski V., Martini H., Soltan V. Geometric methods and optimization problems. // 1999.Boltyanski V., Martini H., Soltan V. 1999, “Geometric methods and optimization problems.“,Kluwer Acad. Publ.Kluwer Acad. Publ.Brazil M., Graham R. L., Thomas D. A., Zachariasen M. On the History of the Euclidean SteinerBrazil M., Graham R. L., Thomas D. A., Zachariasen M. 2013, “On the History of the EuclideanTree Problem // 2013.Steiner Tree Problem.“Cieslik D. The Fermat-Steiner-Weber-problem in Minkowski spaces. // 1988. Optimization 19,Cieslik D. 1988, “The Fermat-Steiner-Weber-problem in Minkowski spaces.“, Optimization 19,–489.–489.Cockayne E. J., Melzak Z. A. Euclidean constructibility in graph-minimization problems. //Cockayne E. J., Melzak Z. A. 1969, “Euclidean constructibility in graph-minimization problems“,Math. Mag., 42, 206–208.Math. Mag., 42, 206–208.Courant R., Robbins H. What Is Mathematics? // 1941. Oxford University Press.Courant R., Robbins H. 1941, “What Is Mathematics?“, Oxford University Press.Durier R., Michelot C. Geometrical properties of the Fermat-Weber problem. // 1985. Europ.Durier R., Michelot C. 1985, “Geometrical properties of the Fermat-Weber problem.“, Europ.J. Oper. Res. 20, 332–343.J. Oper. Res. 20, 332–343.Hwang F. K., Richards D., Winter P. The Steiners Tree Problem. // 1992. Elsevier ScienceHwang F. K., Richards D., Winter P. 1992, “The Steiners Tree Problem“, Elsevier SciencePublishers.Publishers.Ильютко Д. П. Разветвленные экстремали функционала 𝜆-нормированной длины. // 2006.Ilyutko D.P. 2006, “Branching extremals of the functional of 𝜆-normed length“, Sb. Math.,Матем. сб., 197:5, 75–98.:5, 705–726.Ильютко Д.П., Никонов И. М. Экстремальные сети на 𝜆-нормированной плоскости, гдеIlyutko D.P., Nikonov I. M. 2017, “Extremal networks in 𝜆-geometry, where 𝜆=3,4,6“, Sb. Math.,𝜆=3,4,6. // 2017. Матем. сб., 208:4, 17–50.:4 (2017), 479–509.Иванов А. О., Тужилин А. А. Разветвленные геодезические в нормированных простран-Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. 2002, “Branching geodesics in normed spaces“, Izvestiya: Mathematics,ствах. // 2002. Изв. РАН. Сер. матем., 66:5, 33–82, 66:5, 905–948.Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. // 2003. Москва-Ижевск: Ин-Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. 2003, “Extreme Networks Theory“, Moscow-Izhevsk: Institute ofститут компьютерных исследований.Computer Investigations.Ivanov A.O., Tuzhilin A. A. Minimal Networks. Steiner Problem and Its Generalizations. //Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. 1994, “Minimal Networks. Steiner Problem and Its Generalizations“,CRC Press.CRC Press.Jarn´ık V., K¨ossler M. O minim´aln´ıch grafech obsahuj´ıc´ıch n dan´ych bodu // 1934. ˆCas,Jarn´ık V., K¨ossler M. 1934, “O minim´aln´ıch grafech obsahuj´ıc´ıch n dan´ych bodu“, ˆCas, Pˆestov´an´ıPˆestov´an´ı Mat. (Essen) Т. 63: 223—235.Mat. (Essen) Т. 63: 223—235.Kupitz Y. S., Martini H. Geometric aspects of the generalized Fermat–Torricelli problem. //Kupitz Y. S., Martini H. 1997, “Geometric aspects of the generalized Fermat–TorricelliBolyai Society Mathematical Studies 6, 55-127.problem.“, Bolyai Society Mathematical Studies 6, 55-127.Лаут И. Л., Овсянников З. Н. Вид минимальных разветвлённых геодезических в нормиро-Laut I. L., Ovsyannikov Z. N. 2014, “The Type of Minimal Branching Geodesics Defines theванном пространстве определяет норму. // Фундаментальная и прикладная математика,Norm in a Normed Space.“, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 18, no. 2, pp., том 18, 2, с. 67-77.—77.Martini H., Swanepoel K. J., Weis G. The Fermat–Torricelli problem in normed planes andMartini H., Swanepoel K. J., Weis G. 2002, “The Fermat–Torricelli problem in normed planesspaces. // 2002. Journal of Optimization Theory and Applications 115, 283-314.and spaces.“, Journal of Optimization Theory and Applications 115, 283-314.Nguyen S. D. Constrained Fermat-Torricelli-Weber Problem in real Hilbert Spaces // 2018.Nguyen S. D. 2018, “Constrained Fermat-Torricelli-Weber Problem in real Hilbert Spaces“,ArXiv e-prints. arXiv:1806.04296.ArXiv e-prints, arXiv:1806.04296.Torricelli E. De maximis et minimis. // 1919. Opere di Evangelista Torricelli, Faenza, Italy.Torricelli E. 1919, “De maximis et minimis.“ Opere di Evangelista Torricelli, Faenza, Italy.Uteshev A. Y. Analytical solution for the generalized Fermat–Torricelli problem // 2014. TheUteshev A. Y. 2014, “Analytical solution for the generalized Fermat–Torricelli problem“, TheAmerican Mathematical Monthly 121(4), 318–331.American Mathematical Monthly 121(4), 318–331.Zachos A. N. An analytical solution of the weighted Fermat-Torricelli problem on the unit sphereZachos A. N. 2014, “An analytical solution of the weighted Fermat-Torricelli problem on the// 2014. ArXiv e-prints. arXiv:1408.6495.unit sphere“, ArXiv e-prints, arXiv:1408.6495.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.