chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-57-71cheb-1407Research ArticleСтатьиArticleЭнтропия для некоторых моноидов натуральных чиселEntropy for some monoids of natural numbersДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruТульский государственный университет; Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State University; Tula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation2022170120232355771Copyright © Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., 20232023Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М.Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1407

В абстрактной теории чисел и её приложениях к статистической физике важную роль играет понятие энтропии. Так как энтропия равна логарифму функции распределения, то изучение поведения энтропии моноида равносильно решению обратной задачи для этого моноида.В работе рассмотрены вопросы об асимптотики энтропии для некоторых моноидов натуральных чисел и моноидов натуральных чисел с весовой функцией.Во-первых, задача решена для двух моноидов типа геометрическая прогрессия.Во-вторых, полученные результаты относительно энтропии для моноидов с произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа 𝑞 на основании полученного ранее авторами решения обратной задачи для моноидов этого типа.Наконец, для произвольного основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 на основании решения обратной задачи, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементовмоноида 𝑀(P(𝑞)), исходя из асимптотики распределения псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞, получены оценки для энтропии.Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама.Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает.Введено новое понятие 𝐶 логарифмической 𝜃-степенной плотности.Показано, что любой моноид 𝑀(P(𝑞)) для последовательности псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞 имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞.Показано, что если 𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность для основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 существует, то 𝜃 = 12 и для константы 𝐶 справедливы неравенства 𝜋√︁1/3ln𝑞 <= 𝐶 <= 𝜋√︁2/3ln𝑞 .Для основных моноидов 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 остается открытым вопрос о существовании 𝐶 логарифмической 1 2-степенной плотности и величине константы 𝐶.

In abstract number theory and its applications to statistical physics, the concept of entropy plays an important role. Since entropy is equal to the logarithm of the distribution function, studying the entropy behavior of a monoid is equivalent to solving the inverse problem for this monoid.The paper considers questions about the asymptotics of entropy for some monoids of natural numbers and monoids of natural numbers with a weight function.First, the problem is solved for two monoids of the geometric progression type.Secondly, the results obtained with respect to entropy for monoids with an arbitrary exponential sequence of primes of type 𝑞 are based on the solution of the inverse problem for monoids of this type obtained earlier by the authors.To solve this problem, we consider two homomorphisms of the main monoid 𝑀(P(𝑞)) of type 𝑞 and the distribution problem reduces to the additive Ingham problem.It is shown that the concept of power density does not work for this class of monoids. A new concept of 𝐶 logarithmic 𝜃-power density is introduced.It is shown that any monoid 𝑀(P(𝑞)) for a sequence of pseudo-simple numbers P(𝑞) of type 𝑞 has upper and lower bounds for the element distribution function of the main basic monoid 𝑀(P(𝑞)) of type 𝑞.It is shown that if 𝐶 is a logarithmic 𝜃-power density for the main monoid 𝑀(P(𝑞)) of the type 𝑞 exists, then 𝜃 = 12 and for the constant 𝐶 the inequalities are valid 𝜋√︁1/3ln𝑞 <= 𝐶 <= 𝜋√︁2/3ln𝑞 .The results obtained are similar to those previously obtained by the authors when solving the inverse problem for monoids generated by an arbitrary exponential sequence of primes of type 𝑞.

For basic monoids 𝑀(P(𝑞)) of the type 𝑞, the question remains open about the existence of a 𝐶 logarithmic 1/2 -power density and the value of the constant 𝐶.

дзета-функция Риманаряд Дирихледзета-функция моноида натуральных чиселэйлерово произведениеэкспоненциальная последовательность простыхосновной моноид 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотностьэнтропия моноида натуральных чиселэнтропия моноида натуральных чисел с весовой функцией.Riemann zeta functionDirichlet serieszeta function of the monoid of natural numbersEuler productexponential sequence of primesthe basic monoid 𝑀(P(𝑞)) of type 𝑞𝐶 logarithmic 𝜃-power densityentropy monoid of natural numbersentropy monoid of natural numbers with a weight function.Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РНФ № 22-21-00544Acknowledgments: This work was prepared under a grant from the RSF № 22-21-00544.ReferencesЭ. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта–Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66,Bombieria E., Ghoshb A., 2011, “Around the Davenport–Heilbronn function”, Uspekhi Mat.вып. 2(398). С. 15–66.Nauk, 66:2(398) pp. 15–66.Б. М. Бредихин, “Остаточный член в асимптотической формуле для функции 𝜈𝐺(𝑥)”, Изв.Bredikhin, B.M., 1960, “The remainder term in the asymptotic formula for the function 𝜈𝐺(𝑥)”,вузов. Матем., 1960, 6, 40–49.Izvestiya vuzov Matematika, no. 6, pp. 40–49.Б. М. Бредихин, “Элементарное решение обратных задач о базисах свободных полугрупп”, Матем. сб., 50(92):2 (1960), 221–232.Bredikhin, B.M., 1960, “An elementary solution of inverse problems on bases of free semigroups”,Б. М. Бредихин, “Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями”, Докл.matematicheskiy sbornik, 50(92):2, pp. 221–232.АН СССР, 118:5 (1958), 855–857.Bredikhin, B.M., 1958, “Free numerical semigroups with power densities”, Doklady AkademiiБ. М. Бредихин, “О степенных плотностях некоторых подмножеств свободных полу-nauk SSSR, 118:5, pp. 855–857.групп”, Изв. вузов. Матем., 1958, 3, 24–30.Bredikhin, B.M., 1958, “On power densities of some subsets of free semigroups”, Izvestiya vuzovБ. М. Бредихин, “Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями”, Матем.Matematika, no. 3, pp. 24–30.сб., 46(88):2 (1958), 143–158.Bredikhin, B.M., 1958, “Free numerical semigroups with power densities”, matematicheskiyБ. М. Бредихин, “Пример конечного гомоморфизма с ограниченной сумматорной функ-sbornik, 46(88):2, pp. 143–158.цией”, УМН, 11:4(70) (1956), 119–122.Bredikhin, B.M., 1956, “An example of a finite homomorphism with a bounded adder function”,Б. М. Бредихин , Некоторые вопросы теории характеров коммутативных полугрупп, Тру-UMN, 11:4(70), pp. 119–122.ды 3-го Всесоюзн. матем. съезда, т. I, Москва, Изд. АН СССР (1956), 3.Bredikhin, B.M., 1956, “Some questions of the theory of characters of commutative semigroups”,Б. М. Бредихин , О сумматорных функциях характеров числовых полугрупп, ДАН 94Trudy 3-go Vsesoyuznogo matematicheskogo s’yezda, vol. 1, Moskva, izdatel’stvo akademii nauk(1954), 609 — 612.SSSR, no. 3.Б. М. Бредихин , О характерах числовых полугрупп с достаточно редкой базой, ДАН 90Bredikhin, B.M., 1954, “On adder functions of characters of numerical semigroups”, DAN 94,(1953), 707 — 710.pp. 609 – 612.Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.Bredikhin, B.M., 1953, “On the characters of numerical semigroups with a rather rare base”,Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.DAN 90, pp. 707–710.Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добро-Voronin S. M., Karacuba A. A., 1994, Dzeta-funkcija Rimana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.вольский Н. Н., Добровольский Н. М., Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-Gurvic A., Kurant R., 1968, Teorija funkcij, Izd-vo Nauka, Moskva, 618 p.ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. —Demidov S. S., Morozova E. A., Chubarikov V. N., Rebrov I. Yu., Balaba I. N., Dobrovol’skiiТ. 18, вып. 4. — С. 6–85.N. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovol’skaya L. P., Rodionov A. V., Pikhtil’kova O. A.,М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Б. Кожухов, И., "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol. 18, № 4.Ю. Реброва. Моноид произведений дзета-функций моноидов натуральных чисел // Чебы-pp. 6–85.шевcкий сборник. 2022. Т. 23, вып. 3, С. 102–117.M. N. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, I. B. Koguhov, I. Yu. Rebrova,Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным раз-, “Monoid of pro ducts of zeta functions of monoids of natural numb ers” , Chebyshevskiiложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187–207.sbornik, vol. 23, no. 3, pp. 102–117.Добровольский Н. Н. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением наDobrovolsky N. N., 2017, "The zeta-function is the monoid of natural numbers with uniqueпростые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79–105.factorization" , Chebyshevskii Sbornik, vol 18, № 4 pp. 188–208.Добровольский Н. Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходи-N. N. Dobrovol’skii, 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into primeмости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142–150.elements" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 79–105.Добровольский Н. Н. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Че-N. N. Dobrovol’skii, 2018, "The zeta function of monoids with a given abscissa of absoluteбышевcкий сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148–163.convergence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 142–150.Н. Н. Добровольский, “Об абсциссе абсолютной сходимости одного класса обобщенныхДобровольский Н. Н. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Че-произведений Эйлера”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 464–469бышевcкий сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148–163.Н. Н. Добровольский. Распределение простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Матем. заметки (в печати).Н. Н. Добровольский, “Об абсциссе абсолютной сходимости одного класса обобщенныхДобровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Балаба И. Н., Ребро-произведений Эйлера”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 464–469ва И. Ю. Гипотеза о ”заградительном ряде” для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106–123.N. N. Dobrovol’skii, 2022, “Distribution of simple elements in some monoids of natural numbers”,Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба,Math. Notes (in print).И. Ю. Реброва. Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // ЧебышевcкийN. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2018,сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180–196."About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence ofН. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды на-simple" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 106–123.туральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // ЧебышевcкийN. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova,сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164–179., "Dirichlet series algebra of a monoid of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20,Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О ко-no. 1, pp. 180–196.личестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // ЧебышевcкийN. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, A. V. Rodionov, 2019, "Monoidsсборник. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 123–141.of natural numbers in the numerical-theoretical method in the approximate analysis" ,Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О мо-Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 164–179.ноиде квадратичных вычетов // Чебышевcкий сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95–108.N. N. Dobrovol’skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii 2018, "On theН. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для моноидаnumber of prime elements in certain monoids of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik,с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевcкий сборник, 2020, Т. 21,vol. 19, no. 2, pp. 123–141.вып. 1, С. 165–185.N. N. Dobrovol’skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii 2018, "On theН. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для основ-monoid of quadratic residues" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 95–108.ного моноида типа 𝑞// Чебышевcкий сборник, 2022, Т. 23, вып. 4, С. 59–71.Dobrovolskaya L. P., Dobrovolsky M. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovolsky N. N., 2014,Д. С. Миненков, В. Е. Назайкинский, “Замечание об обратной теореме о распределении"On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solidабстрактных простых чисел”, Матем. заметки, 100:4 (2016), 627–629.Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.А. Г. Постников Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.N. N. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol’skii, 2020, "Inverse problem for a monoidЕ. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.with an exponential sequence of Prime numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp.Э. Трост Простые числа — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. — 136 с.–185.Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.N. N. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol’skii, 2022, "The inverse problem for a basicЧудаков Н. Г. Введение в теорию 𝐿-функций Дирихле. — М. – Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.monoid of type 𝑞" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 59–71.H. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc.D. S. Minenkov, V. E. Nazaikinskii, 2016, “Remark on the Inverse Abstract Prime NumberVol. 11. P. 181–185.Theorem”, Math. Notes, 100:4, P. 633–635.Postnikov, A. G., 1971, Introduction to analytical number theory Izd-vo "Nauka" , Moskva,Postnikov, A. G., 1971, Introduction to analytical number theory Izd-vo "Nauka" , Moskva,p.p.Titchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.Titchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.Trost E., 1959, "Prime numbers" , Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 136 p.Trost E., 1959, "Prime numbers" , Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 136 p.Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of 𝐿-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, —Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of 𝐿-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, —p.p.Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math.Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math.Soc. Vol. 11. pp. 181–185.Soc. Vol. 11. pp. 181–185.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.