доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor
В данной небольшой обзорного плана работе мы приводим последние результаты по точным константам Бернштейна — Никольского для полиномов на многомерной единичнойсфере в пространстве 𝐿𝑝 с весом Данкля и оператором Бельтрами–Данкля и родственным весовым константам для полиномов и целых функций экспоненциального типа и операторами Гегенбауэра, Бесселя. Долгое время классическим направлением теории неравенств Бернштейна — Никольского было установление порядкового роста констант в зависимо-сти от роста степени полиномов. Современным развитием теории является доказательство асимптотических равенств типа Левина — Любинского, которые уточняют порядковые соотношения. Основные результаты здесь получили F. Dai, M. Ganzburg, E. Levin,D. Lubinsky, S. Tikhonov, авторы работы.Мы отталкиваемся от доказанных ранее соотношений между многомерной константой Бернштейна — Никольского и одномерной константой для алгебраических полиномов с весом и дифференциальным оператором Гегенбауэра. В случае группы отражений октаэдра и функции кратности 𝜅, такой что min 𝜅 = 0, имеет место равенство между этими константами. Как следствие, для 𝑝 > 1 это позволяет выписать асимптотические равенстваравенства Левина — Любинского для констант Бернштейна — Никольского с целой степенью оператора Бельтрами — Данкля. Случай min 𝜅 > 0 рассмотрен для случая констант Никольского и окружности. Для подпространства четных полиномов с четными гармониками установлена связь с точной константой Никольского для полиномов на компактных однородных пространствах ранга 1. Это позволило выписать равенство Левина — Любинского для поточечных констант при всех 𝑝 > 0 и обычных констант при 𝑝 > 1, которое согласуется с известным порядковым неравенством.Предельные константы в асимптотических равенствах Левина — Любинского выражаются через константы Бернштейна — Никольского для целых функций экспоненциального типа на евклидовом пространстве, полуоси со степенным весом и операторами Лапласа, Лапласа — Данкля, Бесселя. Дальнейшее уточнение значений констант связано с их оценкой при больших значения размерности пространства или степени степенного веса. В работе мы приводим схему получения таких оценок для случая пространства 𝐿_1. Этот случай также интересен тем, что он связан с экстремальной проблемой Ремеза о концентрации 𝐿_1-нормы.
In this short review paper, we present the latest results on the sharp Bernstein–Nikol’skii constants for polynomials on the multidimensional unit sphere in the space 𝐿𝑝 with the Dunklweight and the Beltrami–Dunkl operator and related weight constants for polynomials and entire functions of exponential type and Gegenbauer and Bessel operators. For a long time, theclassical trend in the theory of Bernstein–Nikol’skii inequalities was the establishment of an growth rate of constants depending on the growth of the degree of polynomials. The modern development of the theory is the proof of asymptotic equalities of Levin–Lubinsky-type, which refine the asymptotic equivalences. The main results here were obtained by F. Dai, M. Ganzburg, E. Levin, D. Lubinsky, S. Tikhonov, the authors of the work.We start from the previously proven relations between the multidimensional Bernstein–Nikol’skii constant and the one-dimensional constant for algebraic polynomials with the Gegenbauer weight and the Gegenbauer differential operator. In the case of the reflection group of an octahedron and a multiplicity function 𝜅 such that min 𝜅 = 0, these constants are equal. As a corollary, for 𝑝 > 1 this allows one to write down the Levin–Lubinsky asymptotic equalities ofthe Bernstein–Nikol’skii constants with an integer power of the Beltrami–Dunkl operator. The case min 𝜅 > 0 is considered for the case of Nikol’skii constants and the circle. For the subspace of even polynomials with even harmonics, a connection is established with the sharp Nikol’skii constant for polynomials on compact homogeneous spaces of rank 1. This made it possible to write the Levin–Lubinsky equality for pointwise constants for all 𝑝 > 0 and general constantsfor 𝑝 > 1, which agrees with the known asymptotic inequality.The limit constants in the Levin–Lubinsky asymptotic equalities are expressed in terms of the Bernstein–Nikolskii constants for entire functions of exponential type on Euclidean space, halfaxis with the power weight and Laplace, Laplace–Dunkl, Bessel operators. Further refinement of the values of the constants is connected with their estimation at large dimension of space or the weight exponent. In this paper, we present a scheme for obtaining such estimates for the case of the space 𝐿1. This case is also interesting because it is related to the Remez extremal 𝐿1-norm concentration problem.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.