chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-20-37cheb-1404Research ArticleСтатьиArticleО критических решетках единичного шараOn critical lattices of the unit sphereБасаловЮрий АлександровичBasalovYurij Aleksandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

basalov_yurij@mail.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation2022170120232352037Copyright © Басалов Ю.А., 20232023Басалов Ю.А.Basalov Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1404

История вопроса вычисления и оценки постоянной Эрмита насчитывает два столетия.В данной статье дается краткий обзор истории этой задачи. Также эта проблема рассматривается с точки зрения критических решеток единичного шара.Данная задача берет свое начало с работ Ж. Л. Лагранжа, Л. А. Зеебера и К. Ф. Гаусса.Разрабатывая теорию приведения положительно определенных квадратичных форм, ими были получены предельные формы, для которых отношение минимального значения этих форм в целых точках, отличных от 0, к их определителю было максимально.В середине XIX века Ш. Эрмитом была получена оценка этой величины для произвольной размерности. А в конце XIX века А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым был предложен новый метод приведения квадратичных форм, который позволил получить точные значения постоянной Эрмита вплоть до размерности 8.В данной работе будет рассматриваться эквивалентная постоянной Эрмита величина – критический определитель единичного шара. Следует отметить тесную связь этих величин с другими задачами геометрии чисел, например, задачами нахождения плотности наилучшей упаковки, поиска кратчайшего вектора решетки и диофантовыми приближениями. Мы приведем критические решетки размерностей до 8, а также рассмотрим ихнекоторые метрические свойства.

The history of the problem of calculating and estimating the Hermite constant has two centuries. This article provides a brief overview of the history of this problem. Also, this problem is considered from the point of view of critical lattices of the unit sphere.This problem begans from the works of J. L. Lagrange, L. A. Seeber and K. F. Gauss.While developing the theory of reduction of positive definite quadratic forms, they obtained limit forms for which the ratio of the minimum value of these forms at integer points other than 0 to their determinant is maximal.In the middle of the 19th century, Sh. Hermit obtained an estimate for this quantity for an arbitrary dimension. And at the end of the 19th century, A. N. Korkin and E. I. Zolotarev proposed a new method for reducing quadratic forms, which made it possible to obtain exactvalues of the Hermite constant up to dimension 8.In this paper, we will consider a quantity equivalent to the Hermite constant, the critical determinant of the unit sphere. It should be noted that these quantities are closely connected with other problems in the geometry of numbers, for example, the problems of finding the density of the best packing, finding the shortest lattice vector, and Diophantine approximations. We present critical lattices of dimensions up to 8 and consider some of their metric properties.

критические определителирешеткиминимумы положительно определенных квадратичных форм.critical determinantslatticesminimum of positive definite quadratic forms.Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки РФ на развитие молодежных лабораторий, в рамках реализации ТГПУ им. Л. Н. Толстого программы «Приоритет 2030» по Соглашению №073-03-2022-117/7 по теме «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»ReferencesВенков Б. А., К работе «О некоторых свойствах положительных совершенных квадратич-Venkov B. A. 1952, “To the work “On some properties of positive perfect quadratic forms”, inных форм», в кн. Г. Ф. Вороной , Собр. соч., том 2, Изд-во АН УССР, Киев, 1952.the book. G. F. Voronoi”, Sobr. soch., vol. 2, publishing House of the Academy of Sciences ofВенков Б. А., О приведении положительных квадратичных форм // Изв. АН, серия ма-the Ukrainian SSR.тем., т. 4, 1940, с. 37–52.Venkov B. A. 1940, “Uber die Reduction positiver quadratischer Formen”, Izv. Akad. NaukВенков Б. А., Элементарная теория чисел. - ОНТИ НКТП СССР, 1937.SSSR Ser. Mat., Vol. 4, 1940, p. 37–52.Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел. - ОНТИ НКТП СССР, 1936.Venkov B. A. 1937, Elementary number theory, ONTI NKTP USSR.Грубер. П. М., Леккеркеркер. К. Г. Геометрия чисел. – УРСС, 2004.Dirichlet P. G. L., 1936, Lectures on number theory, ONTI NKTP USSR.Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел: Пер. с англ. – М.: Мир, 1965.Gruber. p. M., Lekkerkerker. C. G. 1987, Geometry of numbers, Elsevier Science Publishers.Касселс Дж. В. С. Рациональные квадратичные формы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982.Cassels J. W. S. 1965, An Introduction to the Geometry of Numbers, Mir.Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. – М.: Мир, 1990.Cassels J. W. S. 1982, Rational quadratic forms, Mir.Рышков С. С., Барановский Е. П., Классические методы теории решетчатых упаковок //Conway J., Slown N., 1990, Ball packings, lattices, and groups, Mir.УМН, Т. 34, Вып. 4, 1979, c. 3–63.Ryshkov S. S., Baranovskii E. P. 1979, “Classical methods in the theory of lattice packings”,Barnes Е. S., The complete enumeration of extreme senary forms // Phil. Trans. Roy. Soc.Uspekhi Mat. Nauk, Vol. 34, Issue 4, p. 3-63; Russian Math. Surveys, Vol. 34, Issue 4, p. 1-68.London, A-249, 1957, p. 461–506.Barnes Е. S. 1957, “The complete enumeration of extreme senary forms”, Phil. Trans. Roy. Soc.Вliсhfeldt H. F., The minimum values of positive quadratic formes in six, seven and eightLondon, A-249, p. 461–506.variables // Math. Z., 39, 1934, p. 1–15.Вliсhfeldt H. F., 1934, “The minimum values of positive quadratic formes in six, seven and eightГаусс К. Ф., Труды по теории чисел. - Изд-во АН СССР, 1959.variables”, Math. Z., 39, p. 1–15.Gauss С. F., Untersuchungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen //Gauss С. F. 1831, “Untersuchungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen”,Formen von Ludwig August Seeber, Gottingische gelehrte Anzeigen, 1831.Formen von Ludwig August Seeber, Gottingische gelehrte Anzeigen.Hermite Ch., Lettres de m. Hermite a m. Jacobie sur differemts objets de la theorie des NombresGauss С. F. 1959.Works on the theory of numbers, Publishing House of the Academy of Sciences// J. Reine und Angew. math., 40, 1850, p. 261–315.of the USSR.Jaquet-Chiffelle D.-O., ´Enum´eration compl`ete des classes de formes parfaites en dimension 7Hermite Ch., Lettres de m. Hermite a m. Jacobie sur differemts objets de la theorie des Nombres// Annales de l’Institut Fourier, Vol. 43, 1993, p. 21–55. http://doi.org/10.5802/aif.1320// J. Reine und Angew. math., 40, 1850, p. 261–315.Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques positives quaternaires // Math. Ann. 5,Jaquet-Chiffelle D.-O., 1993, “ ´Enum´eration compl`ete des classes de formes parfaites en, p. 581–583.dimension 7”, Annales de l’Institut Fourier, Vol. 43, p. 21–55. http://doi.org/10.5802/aif.1320Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques // Math. Ann. 6, 1873, p. 366–389.Korkine A., Zolotareff G. 1872, “Sur les formes quadratiques positives quaternaires”, Math.Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques positives // Math. Ann. 11, 1877, p. 242–Ann., 5, p. 581–583.Korkine A., Zolotareff G. 1873, “Sur les formes quadratiques”, Math. Ann., 6, p. 366–389.Korkine A., Zolotareff G. 1873, “Sur les formes quadratiques”, Math. Ann., 6, p. 366–389.Lagrange J. L., Recherches d’arithmetique, Nouveaux Memoires de 1’Academie royal desKorkine A., Zolotareff G. 1877, “Sur les formes quadratiques positives”, Math. Ann., 11, p.Sciences et Belles-Lettres de Berlin. – Berlin, 1773.–292.Minkowski Н., Diskontinuitatsbereich fur arithmetische Aquivalenz // J. Reine und Angew.Lagrange J. L., 1773, Recherches d’arithmetique, Nouveaux Memoires de 1’Academie royal desMath., 129, 1905, p. 220–274.Sciences et Belles-Lettres de Berlin.Minkowski Н., Cher die positiven quadratischen Formen und liber Rettenbruchanliche //Minkowski Н. 1905, “Diskontinuitatsbereich fur arithmetische Aquivalenz”, J. Reine und Angew.Algorithmen, J. Reine und Angew. Math., 107, 1891, p. 278–279.Math., 129, p. 220–274.Nowak W. G. Simultaneous Diophantine approximation: Searching for analogues of Hurwitz’sMinkowski Н., 1891, “Cher die positiven quadratischen Formen und liber Rettenbruchanliche”,theorem // In: T.M. Rassias and P.M. Pardalos (eds.), Essays in mathematics and itsAlgorithmen, J. Reine und Angew. Math., 107, p. 278–279.applications. Springer/ Switzerland. 2016. p. 181–197.Nowak W. G. 2016, “Simultaneous Diophantine approximation: Searching for analogues ofSeeber L. A., Untersuchungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischenHurwitz’s theorem”, In: T.M. Rassias and P.M. Pardalos (eds.), Essays in mathematics and itsFormen. – Freiburg, 1831.applications. Springer/ Switzerland, p. 181–197.Sikiric M., Schuermann A., Vallentin F., Classification of eight dimensional perfect forms //Seeber L. A., 1831, Untersuchungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischenElectronic Research Announcements of the American Mathematical Society, том 13, 2006,Formen, Freiburg.p. 21-32. http://doi.org/10.1090/S1079-6762-07-00171-0.Sikiric M., Schuermann A., Vallentin F., 2006, “Classification of eight dimensional perfectStасey К. С., The enumeration of perfect septenary forms // J. London Math. Soc., 2, 10, 1975,forms”, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 13,p. 97–104.p. 21–32. http://doi.org/10.1090/S1079-6762-07-00171-0Stасey K. C., The perfect septenary forms with 𝛿4 = 2 // J. Austral. Math. Soc., 22, 2, 1976,Stасey К. С., 1975, “The enumeration of perfect septenary forms”, J. London Math. Soc., 2, 10,p. 144–164.p. 97–104.Vоrоnоi G., Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites // J. Reine undStасey K. C., 1976, “The perfect septenary forms with Δ4 = 2”, J. Austral. Math. Soc., 22, 2,Angew. Math., 133, 1907, p. 97–178.p. 144—164.Vоrоnоi G., 1907, “Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites”, J. ReineVоrоnоi G., 1907, “Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites”, J. Reineund Angew. Math., 133, p. 97–178.und Angew. Math., 133, p. 97–178.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.