chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-5-6-19cheb-1403Research ArticleСтатьиArticleИнтегральное уравнение Вольтерра со степенной нелинейностьюVolterra integral equation with power nonlinearityАсхабовСултан НажмудиновичAskhabovSultan Nazhmudinovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

askhabov@yandex.ruЧеченский государственный педагогический университет; Чеченский государственный университет имени А. А. Кадырова; Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)РоссияChechen State Pedagogical University; Kadyrov Chechen State University; Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)Russian Federation202217012023235619Copyright © Асхабов С.Н., 20232023Асхабов С.Н.Askhabov S.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1403

С помощью интегрального неравенства, обобщающего, в частности, неравенство Чебышева, в статье получены точные двусторонние априорные оценки решения интегрального уравнения Вольтерра со степенной нелинейностью и ядром общего вида в конусе, состоящем из всех неотрицательных и непрерывных на положительной полуоси функций. На основе этих оценок строится полное метрическое пространство, инвариантное относительно нелинейного интегрального оператора Вольтерра, порожденного данным уравнением, и методом весовых метрик (аналог метода Белицкого) доказывается глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения решения указанного уравнения.Показано, что это решение может быть найдено методом последовательных приближений пикаровского типа и дана оценка скорости их сходимости в терминах весовой метрики. Показано, что, в отличие от линейного случая, нелинейное однородное интегральное уравнение Вольтерра помимо тривиального решения может иметь еще и нетривиальное решение. Указаны условия, при которых однородное уравнение, соответствующее данному нелинейному интегральному уравнению, имеет только тривиальное решение. Вместе сэтим дано уточнение и обобщение некоторых результатов, полученных в случае нелинейных интегральных уравнений с разностными и суммарными ядрами. Приведены примеры,иллюстрирующие полученные результаты.

With the help of an integral inequality generalizing, in particular, Chebyshev’s inequality, we obtain sharp two-sided a priori estimates for the solution of the Volterra integral equation with a power nonlinearity and a general kernel in a cone consisting of all non-negative and continuous functions on the positive half-axis. On the basis of these estimates, a complete metric space is constructed that is invariant with respect to the nonlinear Volterra integral operator generated by this equation, and a global theorem on the existence, uniqueness, and method of finding a solution to the indicated equation is proved by the method of weightedmetrics (analogous to the Belitsky method). It is shown that this solution can be found by the method of successive approximations of the Picard type and an estimate is given for the rate of their convergence in terms of the weight metric. It is shown that, in contrast to the linear case, the nonlinear homogeneous Volterra integral equation, in addition to the trivial solution, canalso have a nontrivial solution. Conditions are indicated under which the homogeneous equation corresponding to a given nonlinear integral equation has only a trivial solution. At the same time, a refinement and generalization of some results obtained in the case of nonlinear integral equations with difference and sum kernels is given. Examples are given to illustrate the results obtained.

интегральное уравнение Вольтеррастепенная нелинейностьаприорные оценки.Volterra integral equationpower nonlinearitya priori estimates.Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 22-11-00177).ReferencesOkrasi´nski W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain non-linearOkrasi´nski W. 1979, ”On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certainconvolution equation // Ann. Pol. Math. 1979. Vol. 36, №1. P. 61-72.non-linear convolution equation”, Ann. Pol. Math., vol. 36, no. 1, pp. 61-72.Okrasi´nski W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolationOkrasi´nski W. 1980, ”On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water// Annal. Polon. Math. 1980. Vol. 37, №3. P. 223-229.percolation”, Annal. Polon. Math., vol. 37, no. 3, pp. 223-229.Асхабов С. Н., Карапетянц Н. К., Якубов А. Я. Интегральные уравнения типа свертки соAskhabov S. N., Karapetyants Н. К., Yakubov A.Ya. 1990, ”Integral equations of convolutionстепенной нелинейностью и их системы // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, №5. С. 1035-1039.type with power nonlinearity and systems of such equations”, Dokl. Math., vol. 41, no. 2, pp.Асхабов С. Н., Бетилгириев М. А. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки с–327.почти возрастающими ядрами в конусах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, №2. С.Askhabov S. N., Betilgiriev M. A. 1991, ”Nonlinear integral equations of convolution type with-330.almost increasing kernels in cones”, Differ. Equat., vol. 27, no. 2, pp. 234–242.Bushell P. J., Okrasi´nski W. Nonlinear Volterra integral equations with convolution kernel //Bushell P. J., Okrasi´nski W. 1991, ”Nonlinear Volterra integral equations with convolutionJ. London Math. Soc. 1991. Vol. 41, №2. P. 503-510.kernel”, J. London Math. Soc., vol. 41, no. 2, pp. 503-510.Асхабов С. Н., Бетилгириев М. А. Априорные оценки решений нелинейного интегральногоAskhabov S. N., Betilgiriev M. A. 1993, ”A priori bounds of solutions of the nonlinear integralуравнения типа свертки и их приложения // Матем. заметки. 1993. Т. 54, №5. С. 3-12.convolution type equation and their applications”, Math. Notes, vol. 54, no. 5, pp. 1087–1092.Bushell P. J., Okrasi´nski W. Nonlinear Volterra integral equations and the Apery identities //Bushell P. J., Okrasi´nski W. 1992, ”Nonlinear Volterra integral equations and the AperyBull. London Math. Soc. 1992. Vol. 24. P. 478-484.identities”, Bull. London Math. Soc., vol. 24, pp. 478-484.Kilbas A. A., Saigo M. On solution of nonlinear Abel–Volterra integral equation // J. Math.Kilbas A. A., Saigo M. 1999, ”On solution of nonlinear Abel–Volterra integral equation”, J.Anal. Appl. 1999. Vol. 229. P. 41-60.Math. Anal. Appl., vol. 229, pp. 41-60.Асхабов С. Н. Нелинейные уравнения типа свертки (Физматлит, М., 2009).Askhabov S. N. 2009, Nonlinear equations of convolution type. (russian) [Nelineinie uravneniyaBrunner H. Volterra integral equations: an introduction to the theory and applications.tipa svertki], Fizmatlit, Moscow, 304 p.Cambridge University Press, Cambridge, 2017.Brunner H. "Volterra integral equations: an introduction to the theory and applications".Keller J. J. Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction // Z. Angew.Cambridge University Press, Cambridge, 2017.Math. Phys. 1981. Vol. 32, №2. P. 170-181.Keller J. J. 1981, ”Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction”, Z.Schneider W. R. The general solution of a nonlinear integral equation of the convolution typeAngew. Math. Phys., vol. 32, no. 2, pp. 170-181.// Z. Angew. Math. Phys. 1982. Vol. 33, №1. P. 140-142.Schneider W. R. 1982, ”The general solution of a nonlinear integral equation of the convolutionOkrasi´nski W. Nonlinear Volterra equations and physical applications // Extracta Math. 1989.type”, Z. Angew. Math. Phys., vol. 33, no. 1, pp. 140-142.Vol. 4, №2. P. 51-74.Okrasi´nski W. 1989, ”Nonlinear Volterra equations and physical applications”, Extracta Math.,Асхабов С. Н. Об одном интегральном уравнении с суммарным ядром и неоднородностьюvol. 4, no. 2, pp. 51-74.в линейной части // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, №9. P. 1210-1219.Askhabov S.N. 2021, ”On an integral equation with sum kernel and an inhomogeneity in theEdwards R. E. Functional analysis. Theory and applications (New York: Holt, Rinehart andlinear part”, Differ. Equat., vol. 57, no. 2, pp. 1185-1194.Winston, 1995).Edwards R. E. 1995, ”Functional analysis. Theory and applications”. New York: Holt, RinehartСадовничий В. A., Григорьян A. A., Конягин С. В. Задачи студенческих математическихand Winston, 781 p.олимпиад (МГУ, М., 1987).Sadovnichii V.A., Grigor’yan A. A., Konyagin S. V. 1987, Problems of student mathematicalOkrasi´nski W. On subsolutions of a nonlinear diffusion problem // Math. Meth. in the Appl.olympiads. (russian) [Zadachi studencheskikh matematicheskikh olimpiad], Moscow StateSci. 1989. V. 11, N3. P. 409-416.Univ., Moscow, 310 p.Асхабов С. Н. Интегро-дифференциальное уравнение типа свертки со степенной нелиней-Okrasi´nski W. 1989, ”On subsolutions of a nonlinear diffusion problem”, Math. Meth. in theностью и неоднородностью в линейной части // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, №6.Appl. Sci., vol. 11, no. 3, pp. 409-416.С. 786-795.Askhabov S. N. 2020, ”Integro-differential equation of the convolution type with a powernonlinearity and an inhomogeneity in the linear part”, Differ. Equat., vol. 56, no. 6. P. 775-784.nonlinearity and an inhomogeneity in the linear part”, Differ. Equat., vol. 56, no. 6. P. 775-784.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.