References

cheb

Чебышевский сборник

Chebyshevskii Sbornik

2226-8383

Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University

10.22405/2226-8383-2022-23-4-382-393

cheb-1400

Research Article

История математики и приложений

Сomputer science

Метод и некоторые результаты численной оценки эффективного коэффициента Био горных пород

Method and Some Results of Numerical Estimation of Effective Biot’s Coefficient of Rocks

Яковлев

Максим Яковлевич

Yakovlev

Maksim Yakovlevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

maxim.yakovlev@math.msu.ru

Семыкин

Александр Алексеевич

Semykin

Alexander Alekseevich

semykin@cae-fidesys.com

Левин

Владимир Анатольевич

Levin

Vladimir Anatol’evich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

v.a.levin@mail.ru

Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation

ООО «Фидесис»РоссияFidesys LLCRussian Federation

2022

16012023

234382393

2022

Яковлев М.Я., Семыкин А.А., Левин В.А.

Yakovlev M.Y., Semykin A.A., Levin V.A.

Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1400

В статье описывается метод и приводятся некоторые результаты численной оценки эффективного коэффициента Био пористого материала. Оценка производится путём проведения расчёта на представительном объёме материала. Внешняя граница представительного объёма жёстко фиксируется, а к поверхности пор прикладывается давление. Краевая задача теории упругости с данными граничными условиями решается численно, с помощью отечественной CAE-системы "Фидесис". Поле напряжений, полученное в результате решения, осредняется по объёму. Эффективный коэффициент Био вычисляется из осреднённого тензора напряжений.Сравнение численных результатов для эффективного коэффициента Био с аналитическим решением проведено на простейшей модели - кубе со сферической полостью. Дляразных пористостей и для разных коэффициентов Пуассона материала показано, что погрешность составляет не более 5%. Также проведена оценка эффективного коэффициента Био для моделей с более сложной формой поры. Численные результаты показывают наличие существенной анизотропии в полученных коэффициентах Био.

In this article, a method and some results of the numerical estimation of effective Biot’s coefficient of a porous material are described. The estimation is made by carrying out the calculation on a representative volume element (RVE) of the material. The outer boundary of the RVE is rigidly fixed, and pressure is applied to the surface of the pores. The elasticity boundary value problem with given boundary conditions is solved numerically, using the Russian CAE-system "Fidesys". The stress field obtained as a result of the solution is averaged over thevolume. Effective Biot’s coefficient is calculated from the averaged stress tensor.Comparison of the numerical results for the effective Biot coefficient with the analytical solution is carried out on the simplest model - a cube with a spherical pore. For different porosities and for different Poisson’s ratios of the material, it is shown that the error is nomore than 5%. Effective Biot’s coefficient is also estimated for models with a more complex pore shape. Numerical results show the presence of significant anisotropy in obtained Biot’s coefficients.

теория упругостипороупругостьфизика Землигомогенизацияко- эффициент Биочисленное моделирование

theory of elasticityporoelasticityrock physicshomogenizationBiot’s coefficientnumerical simulation

Исследования проведены в МГУ имени М.В. Ломоносова за счёт гранта РНФ №19-71-10008 (разработка алгоритма численной оценки эффективных коэффициентов Био и исследовательской программы), гранта РНФ №22-11-00110 (сравнение численных результатов с аналитическими) и гранта Президента РФ для молодых учёных - докторов наук №МД-208.2021.1.1 (проведение расчётов для анизотропного материала).

References1

Vershinin A.V. Poroelastoplastic modeling of a borehole stability under small and finite strains

Vershinin, A.V. 2022 “Poroelastoplastic modeling of a borehole stability under small and

using isoparametric spectral element method // Continuum Mechanics and Thermodynamics,

finite strains using isoparametric spectral element method” Continuum Mechanics and

- Режим доступа: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01117-4

Thermodynamics, available at: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01117-4

Yalaev T.R., Bayuk I.O. Reconstruction of elastic properties and thermal conductivity of solid

Yalaev, T.R. Bayuk, I.O. 2019, “Reconstruction of elastic properties and thermal conductivity

materials from their small fragments // International Journal of Engineering Science, V. 144,

of solid materials from their small fragments”, International Journal of Engineering Science,

- Article ID: 103128.

Vol. 144, available at: https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2019.103128/

Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Yakovlev M.Ya. Numerical analysis of effective

Levin, V.A., Zingerman, K.M., Vershinin, A.V., Yakovlev, M.Ya. 2015, “Numerical analysis

mechanical properties of rubber-cord composites under finite strains // Composite Structures,

of effective mechanical properties of rubber-cord composites under finite strains”, Composite

V. 131, 2015. – P. 25–36.

Structures, Vol. 131, pp. 25–36.

Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M., Sboychakov A.M., Yakovlev M.Ya. Software for

Vershinin, A.V., Levin, V.A., Zingerman, K.M., Sboychakov, A.M., Yakovlev, M.Ya. 2015,

estimation of second order effective material properties of porous samples with geometrical and

“Software for estimation of second order effective material properties of porous samples with

physical nonlinearity accounted for // Advances in Engineering Software, V. 86, 2015. – P.

geometrical and physical nonlinearity accounted for”, Advances in Engineering Software, Vol.

–84.

, pp. 80–84.

Yakovlev M.Ya., Tanasevich P.S., Vershinin A.V., Levin V.A. Numerical analysis of the

Yakovlev, M.Ya., Tanasevich, P.S., Vershinin, A.V., Levin, V.A. 2022, “Numerical analysis of

effective thermal properties and the stability for NTE metamaterials using CAE fidesys

the effective thermal properties and the stability for NTE metamaterials using CAE fidesys”,

// AIP Conference Proceedings, V. 2509, Article ID 020210. – Режим доступа: https://

AIP Conference Proceedings, Vol. 2509, available at: https://doi.org/10.1063/5.0084835

aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/5.0084835

Muraev, A.A., Tatoyan, A.D., Dolgalev, A.A., Vershinin, A.V., Yakovlev, M.Ya, Ivanov, S.Yu,

Muraev A.A., Tatoyan A.D., Dolgalev A.A., Vershinin A.V., Yakovlev M.Ya, Ivanov S.Yu,

Konovalov, D.A., Petrovsky, K.A., Levin, V.A. 2022, “A sensitivity study by finite element

Konovalov D.A., Petrovsky K.A., Levin V.A. A sensitivity study by finite element analysis for

analysis for the abutment-implant-bone system”, Mathematics and Mechanics of Complex

the abutment-implant-bone system // Mathematics and Mechanics of Complex Systems, V.

Systems, Vol. 10, no. 1, pp. 1-20.

, I. 1, 2022. - P. 1-20.

Stefanov, Yu P., Bakeev, R.A., Rebetsky, Yu L., Kontorovich, V.A. 2014, “Structure and

Stefanov Yu P., Bakeev R.A., Rebetsky Yu L., Kontorovich V.A. Structure and formation stages

formation stages of a fault zone in a geomedium layer in strike-slip displacement of the

of a fault zone in a geomedium layer in strike-slip displacement of the basement // Physical

basement”, Physical Mesomechanic, Vol. 17, no. 3, pp. 204-215.

Mesomechanic, V. 17, I. 3, 2014. - P. 204-215.

Levin, V.A., Vdovichenko, I.I., Vershinin, A.V., Yakovlev, M.Ya., Zingerman, K.M. 2016,

Vladimir Levin, Ignatiy Vdovichenko, Anatoly Vershinin, Maksim Yakovlev, Konstantin

“Numerical Estimation of Effective Mechanical Properties for Reinforced Plexiglas in the

Zingerman. Numerical Estimation of Effective Mechanical Properties for Reinforced Plexiglas

Two-Dimensional Case”, Modelling and Simulation in Engineering, Vol. 2016, available at:

in the Two-Dimensional Case [Электронный ресурс] // Modelling and Simulation in

https://doi.org/10.1155/2016/9010576

Engineering, Vol. 2016, Article ID 9010576, 10 pages, 2016. – Режим доступа: https://

Levin, V.A., Vdovichenko, I.I., Vershinin, A.V., Yakovlev, M.Y., Zingerman, K.M. 2017, “An

www.hindawi.com/journals/mse/2016/9010576/

approach to the computation of effective strength characteristics of porous materials”, Letters

Levin V.A., Vdovichenko I.I., Vershinin A.V., Yakovlev M.Y., Zingerman K.M. An approach to

on Materials, Vol. 7, no. 4, pp. 452–454.

the computation of effective strength characteristics of porous materials // Letters on Materials,

Konovalov, D.A., Yakovlev, M.Ya. 2017, “Numerical estimation of effective elastic properties of

Vol. 7, Iss. 4, 2017. – P. 452–454.

elastomer composites under finite strains using spectral element method with CAE Fidesys”,

Коновалов Д.А., Яковлев М.Я. О численной оценке эффективных упругих характери-

Chebyshevskii Sbornik, Vol. 18, no. 3, pp. 316–329.

стик эластомерных композитов при конечных деформациях с использованием метода спек-

Levin, V.A., Zingerman, K.M., Yakovlev, M.Ya., Kurdenkova, E.O., Nemtinova, D.V. 2019,

тральных элементов с помощью CAE Fidesys // Чебышевский сборник, том 18, №3, 2017.

“Estimation of Effective Properties of Periodic Cellular Structures using Beam and Shell Finite

– С. 316–329.

Elements with CAE Fidesys”, Chebyshevskii Sbornik, Vol. 20, no. 2, pp. 528–541.

Левин В.А., Зингерман К.М., Яковлев М.Я., Курденкова Е.О., Немтинова Д.В. О числен-

Vdovichenko, I.I., Yakovlev, M.Ya., Vershinin, A.V., Levin, V.A. 2016, “Calculation of the

ной оценке эффективных характеристик периодических ячеистых структур с использова-

effective thermal properties of the composites based on the finite element solutions of the

нием балочных и оболочечных конечных элементов с помощью CAE Fidesys // Чебышёв-

boundary value problems”, IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, Vol. 158, no.

ский сборник. Т. 20, №2, 2019. – С. 528–541.

, available at: https://doi.org/10.1088/1757-899X/158/1/012094

Vdovichenko I.I., Yakovlev M.Ya., Vershinin A.V., Levin V.A. Calculation of the

Fidesys LLC official website: http://cae-fidesys.ru/

effective thermal properties of the composites based on the finite element solutions of

Kozlov, V.V., Komolova E.D., Kartsev M.A., Filatova A.V. 2022 “Analysis of the capabilities

the boundary value problems [Электронный ресурс] // IOP Conf. Series: Materials

of the spectral element method in solving physically and geometrically nonlinear problems

Science and Engineering, Vol. 158, № 1, Article ID 012094, 2016. – Режим доступа:

of mechanics using the CAE Fidesys package” Continuum Mechanics and Thermodynamics,

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/158/1/012094/meta

available at: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01121-8

Официальный сайт ООО «Фидесис» [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://caefidesys.

Wendt A.S., Bayuk, I.O., Covey-Crump S.J., Wirth R., Lloyd G.E. 2003, “An experimental

ru/

and numerical study of the microstructural parameters contributing to the seismic anisotropy

Kozlov V.V., Komolova E.D., Kartsev M.A., Filatova A.V. Analysis of the capabilities of

of rocks”, Journal of Geophysical Research: Solid Earth, Vol. 108, no. B8, available at:

the spectral element method in solving physically and geometrically nonlinear problems of

https://doi.org/10.1029/2002JB001915

mechanics using the CAE Fidesys package // Continuum Mechanics and Thermodynamics,

Yarushina, V.M., Podladchikov, Y.Y., Wang L.H. 2020, “Model for (De)Compaction and

- Режим доступа: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01121-8

Porosity Waves in Porous Rocks Under Shear Stresses”, Journal of Geophysical Research: Solid

Wendt A.S., Bayuk I.O., Covey-Crump S.J., Wirth R., Lloyd G. E. An experimental and

Earth, Vol. 125, no. 8, available at: https://doi.org/10.1029/2020JB019683

numerical study of the microstructural parameters contributing to the seismic anisotropy of

Yakovlev, M.Ya., Konovalov, D.A. 2022, “Multiscale geomechanical modeling under finite

rocks // Journal of Geophysical Research: Solid Earth, V. 108, I. B8, 2003. - Article ID: 187823-

strains using finite element method”, Continuum Mechanics and Thermodynamics, available

MS.

at: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01107-6

Yarushina V.M., Podladchikov Y.Y.,Wang L.H. Model for (De)Compaction and PorosityWaves

Yakovlev, M.Ya., Bystrov, I.D., Zingerman, K.M., Levin, V.A. 2022, “Numerical

in Porous Rocks Under Shear Stresses // Journal of Geophysical Research: Solid Earth, V. 125,

Simulation of the Pore Pressure Influence on the Effective Mechanical Properties

I. 8, 2020. - Article ID: e2020JB019683.

of Rocks Using CAE Fidesys”, AIP Conference Proceedings, Vol. 2509, available at:

Yakovlev M., Konovalov D. Multiscale geomechanical modeling under finite strains using finite

https://doi.org/10.1063/5.0084834

element method // Continuum Mechanics and Thermodynamics, 2022. - Режим доступа:

Biot M.A. 1956, “Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated Porous Solid (I.

https://link.springer.com/article/10.1007/s00161-022-01107-6

Low frequency range, II. Higher frequency range)”, Journal of the Acoustical Society of America,

Yakovlev M.Ya., Bystrov I.D., Zingerman K.M., Levin V.A. Numerical Simulation of the

Vol. 28, pp. 168-181.

Pore Pressure Influence on the Effective Mechanical Properties of Rocks Using CAE

Biot M.A., Willis D.G. 1957, “The elastic coefficients of the theory of consolidation”, Journal

Fidesys // AIP Conference Proceedings, V. 2509, Article ID 020209. – Режим доступа:

of Applied Mechanics, Vol. 24, pp. 594–601.

https://aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/5.0084834

Biot M.A. 1955, “Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid”, Journal

M.A. Biot. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated Porous Solid (I. Low

of Applied Physics, Vol. 26, no. 2, pp. 182–185.

frequency range, II. Higher frequency range) // Journal of the Acoustical Society of America,

Lurie, A.I. 1990, Nonlinear theory of elasticity, Amsterdam, North-Holland

V. 28, 1956. – P. 168-181.

M. Biot, D. G. Willis. The elastic coefficients of the theory of consolidation // Journal of

Applied Mechanics, V. 24, 1957. – P. 594–601.

M. Biot. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // Journal of

Applied Physics, V. 26, I. 2, 1955. – P. 182–185.

Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.