chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2014-15-2-21-32cheb-140Research ArticleСтатьиArticleМЕТОД МНОГОЗНАЧНЫХ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ДОЛГОСРОЧНЫХ ПРОГНОЗОВ УПРАВЛЯЕМЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙMETHOD OF MULTIVALUED OPERATOR SEMIGROUP TO INVESTIGATE THE LONG-TERM FORECASTS FOR CONTROLLED PIEZOELECTRIC FIELDSКасьяновП. О.КasyanovP. О.ПалийчукЛ. С.PaliichukL. S.ТкачукА. Н.TkachukA. N.Учебно-научный комплекс "Институт прикладного системного анализа" На- ционального технического университета Украины "Киевский политехнический институт" МОН Украины и НАН УкраиныUkraine2014300620161522132Copyright © Касьянов П.О., Палийчук Л.С., Ткачук А.Н., 20162016Касьянов П.О., Палийчук Л.С., Ткачук А.Н.Кasyanov P.О., Paliichuk L.S., Tkachuk A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/140

В работе исследуется эволюционное включение гиперболического типа с линейным демпфированием, которое описывает класс управляемых пьезоэлектрических полей с немонотонным потенциалом. Разрывная по фазовой переменной функция взаимодействия может быть представлена в виде разности субдифференциалов выпуклых функционалов. Такая система моделирует широкий класс управляемых процессов механики сплошных сред, в частности, и управляемые пьезоэлектрические процессы с многозначным законом "реакции-перемещения". Представление закона "реакции-перемещения" в виде разности суб- дифференциалов выпуклых функционалов позволяет более гибко управ- лять пьезоэлектрической системой. В таких процессах ключевую роль играют свойства представленных в модели операторов. Поэтому в процессе исследования мы накладываем на параметры задачи такие условия, которые позволяют изучаемой модели с допустимой точностью описывать реальный физический процесс и, в то же время, дают возможность использовать для нее существующий математический аппарат. В работе, используя методы теории глобальных и траекторных аттракторов для многозначных полугрупп операторов, обосновывается конечномерность с точностью до малого параметра слабых решений рассматриваемой модели. Кроме того, полученные результаты применяются к конкретной пьезоэлектрической задаче.

We study the evolution inclusion of hyperbolic type with a linear damping, which describes a class of piezoelectric controlled fields with non-monotonic potential. Discontinuous on the phase variable interaction function can be represented as the difference of subdifferentials of convex functionals. This system describes a wide class of controlled Continuum Mechanics processes, in particular, the piezoelectric controlled processes with a multivalued "reaction-displacement" law. The representation of "reaction-displacement" law as the difference of subdifferentials of convex functionals allows more flexible control for piezoelectric system. In such processes, the properties of operator presented in the model play the key role. Therefore, we impose conditions on parameters of the problem such that allow investigated model with acceptable accuracy to describe real physical process and, at the same time, provide an opportunity to use existing mathematical apparatus for it. In this paper, using the methods of the theory of global and trajectory attractors for multivalued operator semigroups the finitedimensioness of weak solutions of the model is substantiated up to a small parameter. Furthermore, the results are applied to a piezoelectric problem.

многозначная полугруппа операторовуправляемые пьезоэлектрические полявключение гиперболического типанемонотонный потенциалmultivalued operator semigroupcontrolled piezoelectric fieldhyperbolic inclusionnon-monotonic potentialReferencesLiu Z., Mig´orski S. Noncoercive Damping in Dynamic Hemivariational Inequality with Application to Problem of Piezoelectricity // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2008. Vol.9, Iss.1. P. 129–143Liu Z., Mig´orski S. Noncoercive Damping in Dynamic Hemivariational Inequality with Application to Problem of Piezoelectricity // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2008. Vol.9, Iss.1. P. 129–143Gorban N. V., Kapustyan V. O., Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. On Global Attractors for Autonomous Damped Wave Equation with Discontinuous Nonlinearity // Continuous and Distributed Systems: Theory and Applications. / V. A. Sadovnichiy, M. Z. Zgurovsky (Eds.). Springer-Verlag. 2013. P. 221–237.Gorban N. V., Kapustyan V. O., Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. On Global Attractors for Autonomous Damped Wave Equation with Discontinuous Nonlinearity // Continuous and Distributed Systems: Theory and Applications. / V. A. Sadovnichiy, M. Z. Zgurovsky (Eds.). Springer-Verlag. 2013. P. 221–237.Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. Automatic feedback control for one class of contact piezoelectric problems // System Analysis and Information Technologies. 2014. Iss. 1. P. 56–68.Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. Automatic feedback control for one class of contact piezoelectric problems // System Analysis and Information Technologies. 2014. Iss. 1. P. 56–68.Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. Trajectory behavior of weak solutions of the piezoelectric problem with discontinuous interaction function on the phase variable. // Research Bulletin of NTUU "KPI". 2014. Vol. 2.Kasyanov P. O., Paliichuk L. S. Trajectory behavior of weak solutions of the piezoelectric problem with discontinuous interaction function on the phase variable. // Research Bulletin of NTUU "KPI". 2014. Vol. 2.Clarke F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, Interscience: New York, 1983. 308 p.Clarke F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, Interscience: New York, 1983. 308 p.Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Zadoianchuk N. V. Long-time behavior of solutions for quasilinear hyperbolic hemivariational inequalities with application to piezoelectricity problem // Applied Mathematics Letters . 2012. Vol.25. P. 1569–1574.Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Zadoianchuk N. V. Long-time behavior of solutions for quasilinear hyperbolic hemivariational inequalities with application to piezoelectricity problem // Applied Mathematics Letters . 2012. Vol.25. P. 1569–1574.Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Kapustyan O. V., Valero J., Zadoianchuk N.V. Evolution Inclusions and Variation Inequalities for Earth Data Processing III. Springer-Verlag: Berlin, 2012. 330 p.Zgurovsky M. Z., Kasyanov P. O., Kapustyan O. V., Valero J., Zadoianchuk N.V. Evolution Inclusions and Variation Inequalities for Earth Data Processing III. Springer-Verlag: Berlin, 2012. 330 p.Kalita P., Lukaszewicz G. Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties // Nonlinear Analysis. 2014. Vol. 101. P. 124–143. bibitem3 Ball J. M. Global attaractors for damped semilinear wave equations // DCDS. 2004. Vol. 10. P. 31–52.Kalita P., Lukaszewicz G. Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties // Nonlinear Analysis. 2014. Vol. 101. P. 124–143. bibitem3 Ball J. M. Global attaractors for damped semilinear wave equations // DCDS. 2004. Vol. 10. P. 31–52.Vishik M., Chepyzhov V. Trajectory and Global Attractors of Three-Dimensional Navier-Stokes Systems // Mathematical Notes. 2002. Vol. 71, Iss. 1-2. P. 177–193.Vishik M., Chepyzhov V. Trajectory and Global Attractors of Three-Dimensional Navier-Stokes Systems // Mathematical Notes. 2002. Vol. 71, Iss. 1-2. P. 177–193.Ball J. M. Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations // Journal of Nonlinear Sciences. 1997. Vol. 7, Iss. 5. P. 475–502.Ball J. M. Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations // Journal of Nonlinear Sciences. 1997. Vol. 7, Iss. 5. P. 475–502.Temam R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer-Verlag: New York, 1988. 500 p.Temam R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer-Verlag: New York, 1988. 500 p.Melnik V. S., Valero J. On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions // Set-Valued Analysis. 1998. Vol. 6, Iss. 1. P. 83–111.Melnik V. S., Valero J. On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions // Set-Valued Analysis. 1998. Vol. 6, Iss. 1. P. 83–111.Касьянов П. О., Задоянчук Н. В. Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка // Кибернетика и системный анализ. 2012. № 3. С. 111–126.Касьянов П. О., Задоянчук Н. В. Динамика решений класса автономных эволюционных включений второго порядка // Кибернетика и системный анализ. 2012. № 3. С. 111–126.Kasyanov P. O. Multivalued dynamics of solutions of autonomous operator differential equations with pseudomonotone nonlinearity // Mathematical Notes. 2012. Vol. 92, Iss. 1-2. P. 205–218.Kasyanov P. O. Multivalued dynamics of solutions of autonomous operator differential equations with pseudomonotone nonlinearity // Mathematical Notes. 2012. Vol. 92, Iss. 1-2. P. 205–218.Касьянов П. О., Задоянчук Н. В. Свойства решений эволюционных включений второго порядка с отображениями псевдомонотонного типа // Журнал вычислительной и прикладной математики. 2010. №3(102). С. 63–78Касьянов П. О., Задоянчук Н. В. Свойства решений эволюционных включений второго порядка с отображениями псевдомонотонного типа // Журнал вычислительной и прикладной математики. 2010. №3(102). С. 63–78

The authors declare that there are no conflicts of interest present.