chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-1-46-55cheb-14Research ArticleСтатьиArticleЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛОИДАХ В СВЯЗИ С ГИПОТЕЗАМИ ДЛЯ L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕERGODIC PROPERTIES OF FLOWS FOR INTEGRAL POINTS ON SOME HYPERBOLOIDS IN CONNECTION WITH THE HYPOTHESIS FOR THE DIRICHLET L–FUNCTIONПАЧЕВУ. М.PACHEVU. M.

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры геометрии и высшей алгебры, Кабардино-Балкарский государственный университет

Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Associate Professor, professor of department of geometry and higher algebra

urusbi@rambler.ruКабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. БербековаРоссияKabardino-Balkar State UniversityRussian Federation201603052016171171186Copyright © ПАЧЕВ У.М., 20162016ПАЧЕВ У.М.PACHEV U.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/14

Работа посвящена изучению связи теории распределения целых точек на простейшем гиперболоиде с некоторыми гипотезами для L-функции Дирихле. При применении дискретного эргодического метода (далее ДЭМ), разработанного Ю. В. Линником (см. [1, 2]) к задаче распределения целых точек на гиперболоидах x1x3 −x22 = m (так же как и в случае сферы) в формулировках теорем об асимптотически равномерном распределении целых точек участвует некоторое вспомогательное простое число p такое, что символ Лежандра −m p  = 1. В эргодических теоремах и теоремах перемешивания для целых точек наличие такого простого числа было естественным, так как оно порождало поток примитивных точек, используемый в ДЭМ при выводе асимптотических формул для числа целых точек на сфере и на гиперболоиде. Представляет большой интерес получение остаточных членов в асимптотических формулах для целых точек по областям на сфере и на гиперболоиде в рамках используемого ДЭМ (см. [2, 3]). Исследования в этом направлении для целых точек на эллипсоидах проводились А. В. Малышевым и автором [3], а также Е. П. Голубевой [4, 5] методом А. И. Виноградов [6], являющегося развитием дисперсионного метода Ю. В. Линника [7]. Оказывается, что некоторые ослабленные гипотезы для L-функции Дирихле, непосредственно следующие из расширенной гипотезы Римана позволяют устранить указанный недостаток. Учитывая это обстоятельство в сочетании с тем, что А. В. Малышевым и Б. М. Широковым в [8] получено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для гиперболоидов обоих видов, мы проводим соответствующее исследование. В нашей работе исследование ведется сразу для обоих случаев простейших гиперболоидов и в сочетании с использованием некоторых гипотез о поведении L-функции Дирихле получаем значительное упрощение рассуждений и улучшение формулировок результатов. В связи с нашим исследованием отметим так же, что Дьюк [9] методом модулярных форм с использованием результатов Иванца [10] получил асимптотическую формулу с безусловным остаточным членом для числа целых точек в областях на простейшем гиперболоиде. Но в [9] в отличие от нашей работы не рассматривалось распределение целых точек по классам вычетов по заданному модулю. В связи с этим возникает интересная задача по перенесению результатов Дьюк [9] на распределение целых точек простейшего гиперболоида по прогрессиям, т.е. по классам вычетов.

This work is dedicated to the study of connection of distribution theory of integral points on the simplest hyperboloid with some hypotheses for Dirichlet L–function. In application of discrete ergodic method (further DEM), developed by U. V. Linnik (see [1, 2]) to the problem of distribution of integral points on hyperboloids x1x3 −x22 = m (as well as and in case of sphere) in formulations of theorems about asymptotically even distribution of integral points some auxiliary prime number p such as that symbol of Legendre −m p  = 1. In ergodic theorems and theorems of mixing for integral points the presence of such simple number was natural as it resulted a flow of primitive points used in DEM in conclusion of asymptotic formulae for numbers of integral points on the sphere and on hyperboloid. The receipt (receiving) of residual members in asymptotic formulae for integral points on areas on the sphere and on hyperboloid in frames of usage DEM (see [2, 3]) is of great interest. Studies in this direction for integral points on ellipsoids were carried out by A. V. Malyshev and by author [3] as well as by E. P. Golubeva [4, 5] by means of method of A. U. Vinogradov [6] which are elaboration of dispersions method of U. V. Linnik [7]. It appears that some weakened hypotheses for Dirichlet L–function, directly following from broadened hypotheses of Riman allows to eliminate the mentioned lack. Taking into account that circumstance in combination with that done by A. V. Malyshev and B. M. Shirikov in [8]. There obtained a new proof of key lemma DEM for hyperboloids of both kinds, we give corresponding investigation. In Our work the investigation is done at once for both cases of the simplest hyperboloids and in combination with the use of some hypothesis about the behaviour of Dirichlet L–function and obtain considerable simplification of arguments in results. In connection with our investigation we also note that by the Duke method of modular forms with application of Ivants results [10] we shall obtain asymptotic formulae with absolute residual member for numbers of integral points in areas on the simplest hyperboloid. But in [9] as distinct from our work the distribution of integral points according to classes of deductions according to the given module was not considered. In this connection there appears an interesting problem about transference of Duke’s results [9] to the distribution of integral points of the simplest hyperboloid according to to progressions, i.e. according to classes of deductions.

тернарная квадратичная формагиперболоидцелая точкавектор- матрица второго порядкаприведенная бинарная квадратичная формапоток целых точекэргодическая теорема для целых точекL-функция Дирихлеternary quadratic formhyperboloidintegral pointsvector–matricestwo orderreduced binary quadratic formsthe flow of integral pointsergodic theorem for the integral pointsDirichlet L–functionReferencesЛинник Ю. В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1940, Т. 4, №4/5, С. 363—402.Linnik Yu. V. 1940,”On the representation of large numbers by positive ternary quadratic forms” , Izv. AN USSR. Ser. mat., 4, pp. 363–402.Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических полей. Изд-во Ленинградского университета, 1967, — 208 c.Linnik Yu. V. 1967,Ergodic properties of algebraic fields Leningrad.Малышев А. В., Пачев У.М. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами (новый вариант дискретного эргодического метода)// Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1979, Т. 82, с. 33–87.Malyshev A. V., Pachev U. M. 1979, ”Representation of integers by positive ternary quadratic forms (a new modification of the discrete ergodic method)” , Zap. Nauchn. Semin. LOMI, V. 1, pp. 33–87.Голубева Е. П. О представлении больших чисел тернарными квадратичными формами// ДАН СССР, 1970, Т. 191, №3, С. 519—521.Golubeva E. P. 1970,”On the representation of large numbers by ternary quadratic forms” Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 191, pp. 519–521.Голубева Е. П. Асимптотика числа целых точек на некоторых эллипсоидах// Мат. заметки, 1972, Т. 11, №6, С. 625—634.Golubeva E. P. 1972,”Asymptotic behaviour of the number of integer points on certain ellipsoids” Mat. Zametki, 11, pp. 625–634.Виноградов А. И. Общее уравнение Харди—Литтлвуда// Мат. заметки, 1967, Т. 1, №2, С. 189—197.Vinogradov A. I. 1967,”The general Hardy–Littlwood equation” , Mat. Zametki, 1, pp. 189–197.Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах// Л., издво ЛГУ, 1961, 208 с.Linnik Yu. V. 1961,The dispersion method in binary additive problems// L., 208 p.Малышев А. В., Широков Б. М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка// Вестн. Ленингр. унта, — 1991. Сер. 1, вып. 2, — С. 34—40.Malyshev A. V., Shirokov B. M. 1991,”A new proof of a key lemma of the discrete ergodic method of second–order vector matrices” , Vestn. Lelingr. univ., 24, no. 2, pp. 39–45.Duke W. Hyperbolic distribution problems and half–integral weight Maas forms// Invent. Math. 1988. V. 92. P. 78–90.Duke W. 1988, ”Hyperbolic distribution problems and half–integral weight Maas forms” , Invent. Math. V. 92. pp. 78–90.Iwaniec H. Fourier coefficients of modular forms of half–integral weight// Invent. Math. 87. 385–401. (1987).Iwaniec H. ”Fourier coefficients of modular forms of half–integral weight” , Invent. Math. 87 (1987), pp. 385–401.Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, Т. 26, №5, С. 721—752.Skubenko B. F. 1962,Asymptotic distribution of integral points on hyperboloids of one sheet and ergodic theorems” , Izv. AN USSR. Ser. mat. 26, no. 5, pp. 721–752.Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами// Труды Мат. инта АН СССР, 1962, Т. 65, — 212 с.Malyshev A. V. 1962,”On the representation of integers by positive quadratic forms” , Trudy Mat. Inst. Steklov., 65 Acad. Sci. USSR. Moscow., pp. 3–212.Малышев А. В., Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах// Аналитическая теория чисел. Межвуз. сб. Петрозаводск, 1986, С. 46—51.Malyshev A. V., Pachev U. M. 1986,”Estimates of the remainder term in ergodic theorems for integral points on some two–sheeted hyperboloids” , Petrosavodsk., pp. 46–51.Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка// Зап. научн. семин. ЛОМИ. Т. 93. (1980), С. 41–86.Malyshev A. V., Pachev U. M. 1980,”On the arithmetic of matrices of order 2” , Zap. Nauchn. Semin. LOMI. V. 93. pp. 41–86.Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах// Зап. научн. семин. ЛОМИ. Т. 93. (1980). С. 87–141.Pachev U. M. 1980,”On the distribution of integer points on certain two–sheeted hyperboloids” , Zap. Nauchn. Semin. LOMI. V. 93. pp. 87–141.Малышев А. В., Нгуен Нгор Гой О распределение целых точек на некторых однополостных гиперболоидах Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983, Т. 121, С. 83–93.1983, Malyshev A. V., Ngueyen Ngror Khooy 1983,”Distribution of integral points on some hyperboloids of one sheet” , Zap. Nauchn. Semin. LOMI. V. 121, pp. 83–93.Белова Н. Н., Малышев А. В. Эргодические свойства целых точек на эллипсоидах рода G[Ω,1] // Зап. научн. семин. ЛОМИ. Т. 106. 1981. С. 17–51.Belova N. N., Malyshev A. V. 1981,”Ergodic properties of integral points on ellipsoids of genus G[Ω,1] ” , Zap. Nauchn. Semin. LOMI. V. 106. pp. 17–51.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.