chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-4-327-349cheb-1397Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceЭволюция основных положений теории устойчивостиEvolution of the main provisions of the theory of stabilityМухинРавиль РафкатовичMukhinRavil’ Rafkatovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

mukhiny@mail.ruСтарооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»РоссияUgarov Stary Oskol Technological Institute (branch) National University of Science and Technology «MISiS»Russian Federation202216012023234327349Copyright © Мухин Р.Р., 20222022Мухин Р.Р.Mukhin R.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1397

Целью работы является изучение эволюции понятия устойчивости, представляющей структурообразующее понятие во всех областях науки и техники, и даже за их пределами. Этапы этой длительной эволюции соответствовали доминирующим тенденциям ма-тематики своего времени. К концу XIX в. была осознана сложность понятия устойчивости, встал вопрос о математически строгом подходе к проблеме. Была построена общая теория устойчивости движения на прочном математическом фундаменте. Это стало вехой не только в развитии самого предмета, но составило одно из оснований построения качественной теории. В дальнейшем теория устойчивости разделилась на две ветви: одна – расширение теории вширь на старой идейной базе, усиление связей с приложениями; другая – устойчивость в контексте теории динамических систем. В последнем случае устойчивые движения рассматриваются в ряду всех движений, в дихотомии устойчивость-неустойчивость оба полюса равноправны и содержательны. Неустойчивость оказывается тоже сложным понятием, с многообразием форм. Неустойчивость приобрела конструктивное значение, она обеспечивает новации, развитие. Типичным является сосуществование устойчивости и неустойчивости со сложной топологией такой структуры. Многообразные виды неустойчивости демонстрирует явление турбулентности. Изучение этого явления на современном уровне требует использование математики по канонам строгости, принятых в самой математике. Можно поставить вопрос о границах применимости возможностей самого качественного описания и понятия устойчивости. В этом отношении имеются первые результаты, требуются новые идеи.

The aim of the work is to study the evolution of the concept of stability, which is a structureforming concept in all areas of science and technology, and even beyond them. The stages of this long evolution corresponded to the dominant trends in the mathematics of their time.By the end of the XIX century. the complexity of the concept of stability was realized, the question arose of a mathematically rigorous approach to the problem. A general theory of motion stability was built on a solid mathematical foundation. This became a milestone notonly in the development of the subject itself, but was one of the foundations for constructing a qualitative theory. Subsequently, the theory of stability was divided into two branches: one - the expansion of the theory in breadth based on old ideas, strengthening the links with applications; the other is stability in the context of the theory of dynamical systems. In the latter case, stable movements are considered in the series of all movements; in the stability-instability dichotomy both poles are equal and meaningful. Instability also turns out to be a complex concept that has a variety of forms. Instability has acquired a constructive meaning; it ensures innovation and development. Typical is the coexistence of stability and instability with a complex topology of such a structure. Diverse types of instability demonstrate the phenomenon of turbulence. The study of this phenomenon at the modern level requires the use of mathematics according to the canons of rigor adopted in mathematics itself. One can raise the question of the limits of applicability of the possibilities of the most qualitative description and the concept of stability.In this regard, there are first results, new ideas are required.

устойчивостьвозмущениекритерий устойчивостидинамическая си- стеманеустойчивостьтурбулентность.stabilityperturbationstability criteriondynamical systeminstabilityturbulence.Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 20-011-00402 А.Thе work was supported by the RFBR grant No. 20-011-00402 A.ReferencesLeine R. L. The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson,Leine R. L. The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson,Lyapunov stability // Nonlinear Dyn. 2010. Vol. 59. Pp. 173–182.Lyapunov stability // Nonlinear Dyn. 2010. V. 59. Pp. 173–182.Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимумаThe method of finding curves of lines with the properties of a maximum or a minimum, orили решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле Леонарда Эй-the solution of an isoperimetric problem, taken in the broadest sense of Leonard Euler, a royalлера, королевского профессора и члена Императорской Петербургской Академии наук.professor and a member of the Imperial Petersburg Academy of Sciences. Moscow-Leningrad:М.-Л.: ГТТИ, 1934. 603 с.GTTI, 1934. 603 р. (in Russian).Euler L. Scintia novalis seu tractatus de consruendis ac dirigendis. St. Petersburg, AcademiaeEuler L. Scintia novalis seu tractatus de consruendis ac dirigendis. St. Petersburg, AcademiaeScientarum, 1749. 536 p.Scientarum, 1749. 536 p.Lagrange J. L. Sur le principe des vitesse virtuelles // Oeuvres de Lagrange. T. VII. Paris:Lagrange J. L. Sur le principe des vitesse virtuelles // Oeuvres de Lagrange. T. VII. Paris:Gautier-Villars, 1877. Pp. 317–321Gautier-Villars, 1877. Pp. 317–321.M´ecanique analiytique, par J. L. Lagrange. T. Premiere. Paris, 1811. 422 p.M´ecanique analiytique, par J. L. Lagrange. T. Premiere. Paris, 1811. 422 p.Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. Т. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 594 с.Lagrange J. L. Analytical mechanics. T. 1. M.-L.: GITTL, 1950. 594 p. (in Russian).Lejeune-Dirichlet P. G. ¨Uber die Stabilit¨at des Gleichgewichts // CRELLE, J. Reine Angew.Lejeune-Dirichlet P. G. ¨Uber die Stabilit¨at des Gleichgewichts // CRELLE, J. Reine Angew.Math. 1846. B. 32. Pp. 85–88.Math. 1846. B. 32. Pp. 85–88.Лежен-Дирихле П. Г. Об устойчивости равновесия // Лагранж Ж. Аналитическая меха-Lejeune-Dirichlet P. G. On the Stability of Equilibrium // Lagrange J. Analytical Mechanics.ника. Т. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. С. 537–540.T. 1. Moscow-Leningrad: GITTL, 1950. Pp. 537–540 (in Russian).Lagrange J. L. Sur le movement des noeuds des orbits plan´etaires // M´em. Acad. Sci. 1774. Pp.Lagrange J. L. Sur le movement des noeuds des orbits plan´etaires // M´em. Acad. Sci. 1774. Pp.–307.–307.Lagrange J. L. Th´eorie des variations s´eculaires des ´elements des plan´etes // Oeuvres deLagrange J. L. Th´eorie des variations s´eculaires des ´elements des plan´etes // Oeuvres deLagrange. T. V. Paris: Gautier-Villars, 1870. Pp. 127–207, 208–344.Lagrange. T. V. Paris: Gautier-Villars, 1870. Pp. 127–207, 208–344.Laplace P. S. Sur le principe de la gravitation universelle et sur le inegalit´e s´eculaires des plan´etesLaplace P. S. Sur le principe de la gravitation universelle et sur le inegalit´e s´eculaires des plan´etesqui en d´ependent // Oeuvres de Laplace. T. VIII. Paris: Gautier-Villars, 1841. Pp. 201–275.qui en d´ependent // Oeuvres de Laplace. T. VIII. Paris: Gautier-Villars, 1841. Pp. 201–275.Laplace P. S. Sur le ´equation s´eculaire de la lune // M´em. Acad. Sci. 1788. Pp. 243–271.Laplace P. S. Sur le ´equation s´eculaire de la lune // M´em. Acad. Sci. 1788. Pp. 243–271.Poisson S. D. M´emoire sur les inegalit´e s´eculaires des moyens mouvements des plan´etes // J.Poisson S. D. M´emoire sur les inegalit´e s´eculaires des moyens mouvements des plan´etes // J.Ecole Polytech. 1808. T. XV. Pp. 1–56.Ecole Polytech. 1808. T. XV. Pp. 1–56.Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики. М.: Гостехиздат, 1965. 328 с.Einstein A., Infeld L. The Evolution of Physics. Simon and Schuster, 1942. 351 p.Thomson W., Tait P. G. Treatise on Natural Philosophy. Oxford: Clarendon Press, 1867. XXIII,Thomson W., Tait P. G. Treatise on Natural Philosophy. Oxford: Clarendon Press, 1867. XXIII.p.p.Wise N. M., William Thomson and Peter Guthrie Tait, Treatise on Natural Philosophy, FirstWise N. M., William Thomson and Peter Guthrie Tait, Treatise on Natural Philosophy, Firstedition (1867) // Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940. I. Grattan-Guinnesedition (1867) // Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940. I. Grattan-Guinnes(ed.). Amsterdam: Elsivier, 2005. Pp. 521-533.(ed.). Amsterdam: Elsivier, 2005. Pp. 521–533.Routh E. G. A treatise of stability of a given state of motion. L.: Macmillan and Com., 1877.Routh E. G. A treatise of stability of a given state of motion. L.: Macmillan and Com., 1877.p.p.Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. puresPoincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. pureset appl. S´er. 3. 1881. V. 7. P. 375-422; 1882. V. 8. P. 251-296; S´er. 4. 1885. V. 1. P. 167-244;et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. Pp. 375–422; 1882. V. 8. Pp. 251–296; S´er. 4. 1885. V. 1. Pp. 167–244;V. 2. pp. 151–217.V. 2. P. 151–217.Пуанкарe А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ,Poincar´e H. Sur les courbes d´efinies par des ´equations diff´erentielles. Moscow: GITTL, 1947.392 с.p. (in Russian).Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. // Избр. труды: В 3 т. / М.: Наука, 1971.Poincar´e H. Les m´ethodes nouvelles de la m´ecanique c´eleste. Tome 3. Paris: Gauthier-Villars,Т. 2. 998 с.410 p.Жуковский Н. Е. О прочности движения // Соч. Н. Е. Жуковского. Т. 1. М.: ТипографияZhukovsky N. E. On the Strength of Motion // Scholar notes of Moscow University. DepartmentИмператор. Моск. Ун-та, 1912. С. 194–296.of Physics and Mathematics. sciences. 1882. V. 4. Pp. 10–21 (in Russian).Leonov G. A., Burkin I. M., Shepeljavyi A. I. Frequently methods in oscillation theory.Leonov G. A., Burkin I. M., Shepeljavyi A. I. Frequently methods in oscillation theory.Mathematics and its applications. V. 357. Dordrecht: Kluwer Academic, 1996. 403 p.Mathematics and its applications. V. 357. Dordrecht: Kluwer Academic, 1996. 403 p.Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Ляпунов А. М. Избр. труды:Lyapunov A. M. The general problem of the stability of motion // Lyapunov A.M. Select. works:работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 27–298.works on the stability of motion. Moscow Nauka, 2007. Pp. 27–298 (in Russian).Hurvitz, W. A. The Chicago Colloquium // Bull. AMS. 1920. V. 27. Pp. 65–71.Hurvitz, W. A. The Chicago Colloquium // Bull. AMS. 1920. V. 27. Pp. 65–71.Birkhoff G. D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p. / Рус.Birkhoff G. D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p.пер.: Дж. Биркгоф Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.Birkhoff G. D. Surface transformations and their dynamical applications // George DavidBirkhoff G. D. Surface transformations and their dynamical applications // George DavidBirkhoff. Coll. Math. Papers. V. II. N.Y.: AMS, 1950. Pp. 111–229.Birkhoff. Coll. Math. Papers. V. II. N.Y.: AMS, 1950. Pp. 111–229.Levi-Civita T. Sopra alcuni criteri di instabilita // Annali di Math. 1901. Ser. III. V. 5. Pp.Levi-Civita T. Sopra alcuni criteri di instabilita // Annali di Math. 1901. Ser. III. V. 5. Pp.–308.–308.Moiseyev N. D. Essais on the developement of the theory of stability. Moscow-Leningrad:Моисеев Н. Д. Очерки развития теории устойчивости. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 663 с.GITTL, 1949. 664 p. (in Russian).Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Т. 1. Под ред. А. Г. Куроша. М.: Гос. изд-воMathematics in the USSR for forty years 1917-1957. T. 1. Ed. A.G. Kurosh. M.: State. Publ.физ.-мат. литературы, 1959. 1000 с.House of Phys.-Math. Lit., 1959. 1000 p. (in Russian).Григорьян А.Т., Погребысский И. Б. История механики с конца XVIII века до серединыGrigoryan A. T., Pogrebyssky I. B. History of mechanics from the end of the 18th century toXX века. М.: Наука, 1972. 417 с.the middle of the 20th century. M.: Nauka, 1972. 417 p. (in Russian).Четаев Н. Г. Одна теорема о неустойчивости // ДАН СССР. 1934. Т. 1. С. 529–530.Chetaev N. G. One theorem on instability // Rep. Acad. Sci. USSR. 1934. T. 1. Pp. 529–530Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН(in Russian).СССР, 1962. 535 с.Chetaev N. G. Movement stability. Works on analytical mechanics. M.: Publ. House Acad. Sci.Poincar´e H. Sur l’´equilibre d’un masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta.USSR, 1962. 535 p. (in Russian).Math. 1885. T. 7. Pр. 259–380 ; Oeuvres de Henri Poincar´e. T. VII. Paris: Gautier-Villars,Poincar´e H. Sur l’´equilibre d’un masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta.Pр. 40–140.Math. 1885. T. 7. Pp. 259–380 ; Oeuvres de Henri Poincar´e. T. VII. Paris: Gautier-Villars,Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С.Pp. 40–140.–252.Andronov A. A., Pontryagin L. S. Rough systems // Rep. Acad. Sci. USSR. 1937. V. 14, Pp.Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1. N 2.–250. (in Russian).Pр. 101–120.Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. V. 1. № 2. Pр.Андронов А. А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по–120.колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32–71.Andronov A. A. Mathematical problems in self-oscillation theory // A. A. Andronov. Coll.Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an innite number of periodicWorks, M.: Acad. Sci. USSR, 1956. Pp. 32–71 (in Russian).points // Труды межд. симп. по нелин. колебаниям 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365–366.Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodicБылов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. Н., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпуноваpoints // Proc. Int. Congress on non-linear oscillations. Кiev 1961. Кiev: Ukranian Acad. Sci.,и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.Pp. 365–366.Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathem. Zeitschr.Bylov B. F., Vinograd R. E., Grobman D. N., Nemytsky V. V. The theory of Lyapunov exponentsB. 31. S. 748–766.and its applications to stability problems. M.: Nauka, 1966. 576 p. (in Russian).Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показате-Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathem. Zeitschr.ли Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. мат. общества.1968. Т. 19. С. 179–210.B. 31. Pp. 748–766.Миллионщиков М. Д. Критерий устойчивости вероятностного спектра линейных системOseledets V. I. The multiplicative ergodic theorem. Characteristic Lyapunov exponents ofдифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти при-dynamical systems // Proc. Moskow mat. soc. Т. 19. Pp. 179–210 (in Russian).водимости систем с почти периодическими коэффициентами // Мат. сб. 1969. Т. 78. № 2.Millionshchikov M. D. A stability criterion for the probability spectrum of linear systems ofС. 179-202.differential equations with recurrent coefficients and a criterion for almost reducibility of systemsАрнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы //with almost periodic coefficients // Mat. collection 1969. T. 78. № 2. Pp. 179-202 (in Russian).ДАН СССР. 1964. Т. 156. № 1. С. 9–12.Arnold V. I. On the instability of dynamical systems with many degrees of freedom // Rep.Заславский Г. М., Захаров М. Ю., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников А. А. ГенерацияAcad. Sci. USSR. 1964. V. 156. № . 1. Pp. 9–12 (in Russian).упорядоченных структур с осью симметрии из гамильтоновой динамики // Письма вZaslavsky G. M., Zakharov M.Yu., Sagdeev R. Z., Usikov D. A., Chernikov A. A. GenerationЖЭТФ. 1986. Т. 144. В. 7. С. 349–353.of ordered structures with an axis of symmetry from Hamiltonian dynamics // JETP Letters.Заславский Г. М., Захаров М. Ю., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников А. А. Стохасти-T. 144. V. 7. Pp. 349–353 (in Russian).ческая паутина и диффузия частиц в магнитном поле // ЖЭТФ. 1986. Т.91. В. 5. С.Zaslavsky G. M., Zakharov M.Yu., Sagdeev R. Z., Usikov D. A., Chernikov A. A. Stochastic–516.web and diffusion of particles in a magnetic field // JETP. 1986. T.91. V. 5. Pp. 500–516 (inЗаславский Г. М., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегу-Russian).лярные структуры. М.: Наука, 1991. 236 с.Zaslavsky G. M., Sagdeev R. Z., Usikov D. A., Chernikov A. A. Weak chaos and quasi-regularStephenson A. On a class of forced oscillations // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1906. V. 37.structures. M.: Nauka, 1991. 236 p. (in Russian).№ 148. Pp. 353–360.Stephenson A. On a class of forced oscillations // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1906. V. 37.Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Сб. трудов Ин-та строит.№ 148. Pp. 353–360.механики АН УССР. 1950. Т. 14 С. 9–34.Bogolyubov N. N. Perturbation theory in nonlinear mechanics // Proc. Institute Struct.Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса //Mechanics Acad. Sci. Ukrainian SSR. 1950. T. 14., Рр. 9–34 (in Russian).ЖЭТФ. 1951. Т. 21. Вып.5. С. 588–597.Kapitsa P. L. Dynamic stability of a pendulum with an oscillating suspension point // JETP..Богатов Е. М., Мухин Р.Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н. Н. Бо-V. 21. Issue 5. Рp. 588–597 (in Russian).голюбов, А. Стефенсон, П. Л. Капица и другие // Изв. вузов «ПНД». 2017. Т. 25. № 5. С.Bogatov E. M., Mukhin R. R. Averaging method, pendulum with vibrating suspension:–87.N. N. Bogolyubov, A. Stephenson, P. L. Kapitsa and others // Proc. of universities “PND”.Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи виб-V. 25. № . 5. Pp. 69–87 (in Russian).раций// ДАН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345–347.Chelomey V. N. On the Possibility of Increasing the Stability of Elastic Systems UsingЧеломей В. Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. 1983. Т.Vibrations// Rep. Acad. Sci. USSR. 1956. V. 110. No. 3. Pp. 345–347 (in Russian).№ 1. С. 62–67.Chelomey V. N. Paradoxes in mechanics caused by vibrations // Rep. Acad. Sci. USSR. 1983.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.V. 270. No. 1. Рр. 62–67 (in Russian).Goldstein S. Fluid mechanics in the first half of this century // Annu. Rev. Fluid Mech. 1969.Landau L. D., Lifshitz E. M. Hydrodynamics. M.: Nauka, 1986. 736 p. (in Russian).V. 1. Pp. 1–29.Goldstein S. Fluid mechanics in the first half of this century // Annu. Rev. Fluid Mech. 1969.Марсден Дж. Соотношение между уравнениями Навье-Стокса и турбулентностью //V. 1. Pp. 1–29.Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 7–20.Marsden J. Relationship between the Navier-Stokes equations and turbulence // StrangeSommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodyhamischen Erkl¨arung der turbulenten Flussigkeitsbewegungenattractors. M.: Mir, 1981. Рр. 7–20 (in Russian)./ / Proc. 4th Int. Congr. Rome.1908. Pр. 116–124.Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodyhamischen Erkl¨arung der turbulenten FlussigkeitsbewegungenOrr W. The stability or instability of the steady motions of a liquid // Proc. Roy. Irish Acad./ / Proc. 4th Int. Congr. Rome.1908. Pр. 116–124.A 27. V. 27. Pp. 9–68, 69–138.Orr W. The stability or instability of the steady motions of a liquid // Proc.Roy. Irish Acad.Heisenberg W. ¨Uber Stabilit¨at und Turbulenz von Flissigkeitsstr¨omen // Ann. der Phys. 1924.A 27. V. 27. Pp. 9–68, 69–138.B.74. № 15. Pp. 577–624.Heisenberg W. ¨Uber Stabilit¨at und Turbulenz von Flissigkeitsstr¨omen // Ann. der Phys. 1924.Ляпунов А. М. Об одной задаче Чебышева // Зап. Акад. Наук по Физ.-мат. отд. 1905. 8Bd.74. No. 15. Pp. 577–624.сер. Т. 17. № 3. С. 1–32; А.М. Ляпунов. Собр. Соч. Т. 3. М. –Л.: Изд-во АН СССР, 1959.Lyapunov A. M. On one problem of Chebyshev // Proc. Akad. Sciences in Phys.-Math.С. 207–236.department 1905. 8 ser. T. 17. No. 3. Pp. 1–32; A.M. Lyapunov. Coll. Works. T. 3. M.-L.:Leray J. Etude de diverses ´equations int´egrals non lin´earais et de quelques probl`emes que posePubl. House Acad. Sci. USSR, 1959. Рр. 207–236 (in Russian).l’hydrodynamique // J. Math. Pures Appl. 1933. V. 12. Pp. 1–82.Leray J. Etude de diverses ´equations int´egrals non lin´earais et de quelques probl`emes que poseLeray J. Essai sur le mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parios // J.l’hydrodynamique // J. Math. Pures Appl. 1933. V. 12. Pp. 1–82.Math. Pures Appl. 1934. V. 13. Pp. 341–418.Leray J. Essai sur le mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parios // J.Leray J. Sur le mouvements d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta Math. 1934. V.Math. Pures Appl. 1934. V. 13. Pp. 341–418.Pp. 193–248.Leray J. Sur le mouvements d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta Math. 1934. V.Oseen C. W. Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik. Leipzig : Academie Verlag,Pp. 193–248.337 S.Oseen C. W. Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik. Leipzig : Academie Verlag,Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448337 S.с.Bitsadze A. V. Some classes of partial differential equations. M.: Nauka, 1981. 448 p. (inHopf E. ¨Uber die Anfangswertaufgabe f¨ur die hydrodynamischen Gundgleichungen // Math.Russian).Nachrich. 1951. B. 4. S. 213–231.Hopf E. ¨Uber die Anfangswertaufgabe f¨ur die hydrodynamischen Gundgleichungen // Math.Ladyzhenskaya O. A. Attractors for Semigroups and Evolution Equations. Lincei Lectures.Nachrich. 1951. B. 4. S. 213–231.Cambridge: CUP, 1991. 73 p.Ladyzhenskaya O. A. Attractors for Semigroups and Evolution Equations. Lincei Lectures.Scheffer V. (1976), Turbulence and Hausdorff dimension. // Turbulence and Navier-StokesCambridge: CUP, 1991. 73 p.equations // Proc. Conf. Univ. Paris-Sud, Orsay, 1975. Berlin: Springer Verlag, 1976. Pp. 174-Scheffer V. (1976), Turbulence and Hausdorff dimension. // Turbulence and Navier-Stokes–183.equations. Proc. Conf. Univ. Paris-Sud, Orsay, 1975. Berlin: Springer Verlag, 1976. Pp. 174—Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations // Comm. Pure Appl. Math. 1982. V. 35(6). Pp. 771—831.Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т.1. - С.-Птб: Гидрометеоиздат,Stokes equations // Comm. Pure Appl. Math. 1982. V. 35(6). Pp. 771-–831.692 с.Monin A. S., Yaglom A. M. Statistical fluid mechanics : mechanics of turbulence. Boston: MITRuelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. Pp.Press, 1971. 782 p.–192 / Рус. пер. в кн.: Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 117–151.Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. Pp.Arnold V. I. Kolmogorov’s hydrodynamic attractors // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1991.–192 / Рус. пер. в кн.: Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. Pp. 117–151.V. 434. Pp. 19–22.Arnold V. I. Kolmogorov’s hydrodynamic attractors // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1991.Arnold V., Khesin B. Topogical methods in hydrodynamics. N.Y.: Springer, 1998. 374 p.V. 434. Pp. 19-22.Обухов А. М. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа // ДАНArnold V., Khesin B. Topogical methods in hydrodynamics. N.Y.: Springer, 1998. 374 p.СССР. 1969. Т. 184. № 2. С. 309–312.Obukhov A. M. On integral invariants in systems of hydrodynamic type // Rep. Acad. Sci.Нелинейные системы гидродинамического типа. Под ред. А. М. Обухова. М.: Наука, 1974.USSR. 1969. V. 184. № . 2. Pp. 309–312 (in Russian).с.Nonlinear systems of hydrodynamic type. Ed. A.M. Obukhov. M.: Nauka, 1974. 160 p. (inAfraimovich V. A., Shilnikov L.P. On strange attractors and quasiattractors // NonlinearRussian).dynamics and turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983. Pр. 1-–34.Afraimovich V. A., Shilnikov L.P. On strange attractors and quasiattractors // NonlinearZaslavsky G. M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today. 1999.dynamics and turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983. Pр. 1-–34.Vol. 52. Pр. 39—45.Zaslavsky G. M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today. 1999.Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Об областях Ньюхауса двумерных диф-V. 52. Pр. 39—45.феоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром //Gonchenko S. V. et al. On Newhouse domains of two-dimensional diffeomorphisms that areТруды МИАН. 1997. Т. 216. C. 76-–125.close to diffeomorphism with a structurally unstable heteroclinic contour // Proc. o MIAN.Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков О. А., Козлов А. Д. Математическая теория дина-Moscow: Nauka, 1997. V. 216. Pp. 76—125 (in Russian).мического хаоса // Изв. вузов. Прикл. нелин. динамика. 2017. Т. 25, № 2. С. 4-–36.Gonchenko S. V. et al. Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: review //Holmes P., Lumley J., Bercooz G., Rowley C. Turbulence, Coherent Structures, DynamicalProc. Universities “PND”. 2017. V. 25. Issue 2. Pp. 4—36 (in Russian).Systems and Symmetry. Cambridge: CUP, 2012. 386 p.Holmes P., Lumley J., Bercooz G., Rowley C. Turbulence, Coherent Structures, DynamicalФомин Н. Н., Чечеткин В. М. Когерентные гидродинамические структуры и вихревая ди-Systems and Symmetry. Cambridge: CUP, 2012. 386 p.намика. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Препринт № 1 за 2015 г.Fomin N. N., Chechetkin V. M. Coherent hydrodynamic structures and vortex dynamics. IPMШильников Л. П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней // Матема-M.V. Keldysh. Preprint No. 1 for 2015. (in Russian).тические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 465–489.Shilnikov L.P. Homoclinic trajectories from Poincare to the Present // Mathematical events ofГонченко С. В., Тураев Д. Б., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольногоthe Twentieth Century. Berlin: Springer-Verlag, 2006. Pp. 347—370.порядка в областях Ньюхауса // Совр. математика и ее прилож. 1999. Т. 67. С. 69-–128.Gonchenko S. V., Shilnikov L.P., Turaev D. V. Homoclinic Tangencies of an Arbitrary Order inNewhouse Domains // J. Math. Sci., 2001. V. 105. Issue 1. Pp. 1738-–1778.Newhouse Domains // J. Math. Sci., 2001. V. 105. Issue 1. Pp. 1738-–1778.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.