chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-4-272-284cheb-1394Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceОценка сходимости метода спектральных элементов в CAE Fidesys на основе точного решения задачи Ламе для упругопластических материалов с помощью системы регрессионного автоматизированного тестированияEstimation of convergence of spectral element method in CAE Fidesys based on exact solution of the Lame problem for elastoplastic materials using an automated regression testing systemЛевинВладимир АнатольевичLevinVladimir Anatol’evich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

v.a.levin@mail.ruКозловВиктор ВячеславовичKozlovViktor Vyacheslavovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

vvkozlovtsu@mail.ruКомоловаЕлена ДмитриевнаKomolovaElena Dmitrievna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

komolova@cae-fidesys.comФилатоваАлександра ВячеславовнаFilatovaAlexandra Vyacheslavovnafilatova@cae-fidesys.comКарцевМихаил АлександровичKartsevMikhail Aleksandrovich

аспирант

postgraduate student

cartsev.mikhail@yandex.ruМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationТульский государственный университет; Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияTula State University (Tula); Lomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет имени М. В. Ломоносова; ООО «Фидесис»РоссияLomonosov Moscow State University; Fidesys LLCRussian FederationООО «Фидесис»РоссияFidesis LLCRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202216012023234272284Copyright © Левин В.А., Козлов В.В., Комолова Е.Д., Филатова А.В., Карцев М.А., 20222022Левин В.А., Козлов В.В., Комолова Е.Д., Филатова А.В., Карцев М.А.Levin V.A., Kozlov V.V., Komolova E.D., Filatova A.V., Kartsev M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1394

В статье рассмотрена оценка сходимости метода спектральных элементов, реализованного в CAE Fidesys, на основе точных аналитических решений задачи Ламе при малых деформациях в упругой постановке, а также в упругопластической постановке с использованием критерия Мизеса в рамках теории идеально пластического течения. Ввиду симметрии рассматривались четверти моделей. Численные результаты получены в пакете дляпрочностных расчетов CAE Fidesys с помощью метода конечных элементов первого и второго порядка и метода спектральных элементов третьего - девятого порядка. На основании полученных результатов осуществлен анализ об определении характера уменьшения погрешностей метода спектральных элементов CAE Fidesys при повышении порядка элементов. Исследование проводилось с помощью специализированной системы регрессионного автоматизированного тестирования. Результаты работы могут быть полезны при принятии решения об использовании метода спектральных элементов в промышленных расчетах.

This paper considers convergence estimation of the spectral element method implemented in CAE Fidesys. It was based on exact analytical solutions of the Lame problems in small deformations in the elastic and elastic-perfectly plastic obeying Huber-von Mises yield criterionformulations. Due to the symmetry, we consider quarters of the models. Numerical results were obtained in the CAE Fidesys strength analysis system using the finite element method for the first and second orders and the spectral element method for the third to ninth orders. Based on the results obtained, an analysis was carried out to determine the nature of the decrease in the errors of the CAE Fidesys spectral element method with an increase in the order of theelements. The study was conducted using a specialized automated testing system. The results of the work can be useful in making a decision on the use of the spectral element method in industrial calculations.

автоматизированная система тестированияавтотестыметод ко- нечных элементовметод спектральных элементовэкспоненциальная сходимостьCAE Fidesysупругопластическая модельзадача Ламекриволинейные границы.automated testing systemautotestsfinite element methodspectral element methodexponential convergenceCAE Fidesyselastoplastic modelLame problemcurvilinear boundaries.Исследование выполнено при финансовой поддержке грантов Российского научного фонда: проект №19-71- 10008 (анализ изменения погрешностей численных решений при изменении порядка элементов), №22-11-00110 (получение аналитических решений задач Ламе).ReferencesЛевин В. А., Зингерман К. М., Яковлев М. Я., Курденкова Е. О., Немтинова Д. В. ОLevin, V. A., Zingerman, K. M., Yakovlev, M.Ya., Kurdenkova, E. O., Nemtinova, D. V. 2019,численной оценке эффективных характеристик периодических ячеистых структур с ис-“On the numerical estimation of the effective characteristics of periodic cellular structures usingпользованием балочных и оболочечных конечных элементов с помощью CAE Fidesysbeam and shell finite elements using CAE Fidesys“, Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp.// Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, №2. С. 528-541. http://doi.org/10.22405/-541. http://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-528-541-8383-2019-20-2-528-541Vershinin, A. V., Zingerman, K. M., Konovalov, D. A., Levin, V. An. 2019, “Numerical modelingВершинин А. В., Зингерман К. М., Коновалов Д. А., Левин В. Ан. Численное моделирова-in CAE Fidesys of the additive manufacturing process based on the method of spectral elementsние в CAE Fidesys процесса аддитивного производства на основе метода спектральныхon nonconformal grids“, Modern problems of mathematics and mechanics. Proceedings of theэлементов на неконформных сетках // Современные проблемы математики и механики.international conference dedicated to the 80th anniversary of Academician V. A. Sadovnichy,Материалы международной конференции, посвященной 80-летию академика В. А. Садов-vol. 2, pp. 642-647.ничего. 2019. Т. 2. С. 642-647.Levin, V. A. 2017, “The theory of multiple imposition of large deformations, development forЛевин В. А. Теория многократного наложения больших деформаций, развитие для реше-solving interdisciplinary problems. Ways of its implementation in the Fidesys package forния междисциплинарных задач. Пути ее реализации в пакете Фидесис для проведенияcarrying out strength analysis in new industries“, Chebyshevskii sbornik, vol. 18, no. 3, pp.прочностного анализа в новых отраслях промышленности // Чебышевский сборник. 2017.-537. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-3-524-542Т. 18, №3. С. 518-537. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-3-524-542Kukushkin, A. V., Konovalov, D. A., Vershinin, A. V., Levin, V. A. 2019, “Numerical simulationKukushkin A. V., Konovalov D. A., Vershinin A. V., Levin V. A. Numerical simulation in CAEin CAE Fidesys of bonded contact problems on non-conformal meshes“, Journal of Physics:Fidesys of bonded contact problems on non-conformal meshes // Journal of Physics: ConferenceConference Series, vol. 1158, no. 2, pp. 032022. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/Series. 2019. Vol. 1158, № 2. P. 032022. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/3/032022/032022Официальный сайт ООО «Фидесис». URL: https://www.cae-fidesys.com/documentationOfficial site of Fidesys LLC. URL: https://www.cae-fidesys.com/documentation (accessed(дата обращения 15.09.2022)/15/2022)Морозов Е. М., Левин В. А., Вершинин А. В. Прочностной анализ: Фидесис в руках инже-Morozov, E. M., Levin, V. A., Vershinin, A. V. 2015, Prochnostnoy analiz: Fidesys v rukakhнера. М.: ЛЕНАНД. 2015. 408 с.inzhenera [Strength analysis: Fidesys in the hands of an engineer], LENAND, Moscow, Russia.Горбаченко И. М. Оценка качества программного обеспечения для создания систем тести-Gorbachenko, I. M. 2013, “Quality assessment of software for creating testing systems“,рования // Фундаментальные исследования. 2013. № 6-4. C. 823-827.Fundamental research, no. 6-4, pp. 823-827.Прохоренок Н.А. Python 3 и PyQt. Разработка приложений. СПб.: БХВ-Петербург. 2012.Prokhorenok, N. A. 2012, Python 3 i PyQt. Razrabotka prilozheniy [Python 3 and PyQt.с.Application Development], BHV-Petersburg, St. Petersburg, Russia.Маккини У. Python и анализ данных / пер. с анг. А. А. Слинкина. М.: ДМК Пресс. 2020.Mackini, W. 2020, Python i analiz dannykh [Python and data analysis], Translated by Slinkina,с.A. A, DMK Press, Moscow, Russia.Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Высш. Шк. 1976. 398 с.Kalitkin, N. N. 1976, Chislennyye metody [Numerical methods], Higher. school, Moscow, Russia.Амосов А. А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие / А.А. Амосов,Amosov, A. A., Dubinsky, Yu. A., Kopchenov, N. V. 1994, Vychislitel’nyye metody dlya inzhenerov:Ю.А. Дубинский, Н. В. Копченова. М.: Высш. шк. 1994. 544 с.ucheb. posobiye [Computational methods for engineers: textbook], Higher. school,Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The Finite Element Method: Its Basis and FundamentalsMoscow, Russia.th edition // Butterworth-Heinemann, Oxford, United Kingdom. 2013. P. 756.Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., Zhu, J. Z. 2013, The Finite Element Method: Its Basis andhttps://doi.org/10.1016/C2009-0-24909-9Fundamentals 7th edition, Butterworth-Heinemann, Oxford, United Kingdom. https://doi.Fish J., Belutschko T. A First Course in Finite Elements // John Wiley & Sons Ltd, New York.org/10.1016/C2009-0-24909-9P. 319. https://doi.org/10.1002/9780470510858.indexFish, J., Belutschko, T. 2007, A First Course in Finite Elements, John Wiley & Sons Ltd, NewVershinin A. V., Levin V. A., Kukushkin A. V., Konovalov D. A. Structural analysis of assembliesYork. https://doi.org/10.1002/9780470510858.indexusing non-conformal spectral element method // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 747. 2020.Vershinin, A. V., Levin, V. A., Kukushkin, A. V., Konovalov, D. A. 2020, “Structural analysis ofP. 012033. https://doi.org/10.1088/1757-899x/747/1/012033assemblies using non-conformal spectral element method“, IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng.,Orel B., Perne A. Chebyshev-Fourier Spectral Methods for Nonperiodic Boundary Valueno.747, pp. 012033. https://doi.org/10.1088/1757-899x/747/1/012033Problems // Journal of Applied Mathematics. 2014. P. 1-10. https://doi.org/10.1155/2014/Orel, B., Perne, A. 2014, “Chebyshev-Fourier Spectral Methods for Nonperiodic BoundaryValue Problems“, Journal of Applied Mathematics, pp. 1-10. https://doi.org/10.1155/2014/Value Problems“, Journal of Applied Mathematics, pp. 1-10. https://doi.org/10.1155/2014/Petrovskiy K. A., Vershinin A. V., Levin V. A. Application of spectral elements method toPetrovskiy K. A., Vershinin A. V., Levin V. A. Application of spectral elements method tocalculation of stress-strain state of anisotropic laminated shells // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci.Petrovskiy, K. A., Vershinin, A. V., Levin, V. A. 2016, “Application of spectral elements methodEng. 158. 2016. P. 012077. https://doi.org/10.1088/1757-899x/158/1/012077to calculation of stress-strain state of anisotropic laminated shells“, IOP Conf. Ser.: Mater. Sci.Karpenko V. S., Vershinin A. V., Levin V. A., Zingerman K. M. Some results of mesh convergenceEng., no. 158, pp. 012077. https://doi.org/10.1088/1757-899x/158/1/012077estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYS industrialKarpenko, V. S., Vershinin, A. V., Levin, V.A., Zingerman, K. M. 2016, “Some results ofpackage. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 158.2016. P. 012049. https://doi.org/10.1088/mesh convergence estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYS-899x/158/1/012049industrial package“, IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., no. 158, pp. 012049. https://doi.org/Konovalov D., Vershinin A., Zingerman K., Levin V. The implementation of spectral element1088/1757-899x/158/1/012049method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes //Konovalov, D., Vershinin, A., Zingerman, K., Levin, V. 2017, “The implementation of spectralModelling and Simulation in Engineering. 2017. P. 1797561. https://doi.org/10.1155/2017/element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinearmeshes“, Modelling and Simulation in Engineering, pp. 1797561. https://doi.org/10.1155/meshes“, Modelling and Simulation in Engineering, pp. 1797561. https://doi.org/10.1155/Solin P., Segeth K., Dolezel I. Higher-Order Finite Element Methods. Chapman & Hall/CRC/1797561Press. 2003. P. 408.Solin, P., Segeth, K., Dolezel, I. 2003, Higher-Order Finite Element Methods, Chapman &Козлов В. В, Комолова Е. Д., Филатова А. В. Использование системы автотестов CAEHall/CRC Press, London, United Kingdom.Fidesys для оценки сходимости метода спектральных элементов к точному решению приKozlov, V. V., Komolova, E. D., Filatova, A. V. 2021, “Using the CAE Fidesys autotest systemповышении порядка элементов // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секцияto assess the convergence of the spectral element method to the exact solution with increasingмеханики. 20–26 апреля 2021 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ. 2021. С. 114-115.element order“, Lomonosov Readings. Scientific Conference. Section of mechanics. April 20-26,Kozlov V. V., Komolova E. D., Kartsev M. A., Filatova A. V. Analysis of the capabilities ofAbstracts of reports. Publishing House of Moscow State University, pp. 114-115.the spectral element method in solving physically and geometrically nonlinear problems ofKozlov, V. V., Komolova, E. D., Kartsev, M. A., Filatova, A. V. 2022, “Analysis of themechanics using the CAE Fidesys package // Continuum Mech. Thermodyn. 2022. https:capabilities of the spectral element method in solving physically and geometrically nonlinear//doi.org/10.1007/s00161-022-01121-8problems of mechanics using the CAE Fidesys package“, Continuum Mech. Thermodyn. https:Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 2. М.: Наука. 1970. 568 с.//doi.org/10.1007/s00161-022-01121-8Kachanov L. M. Foundations of the Theory of Plasticity. North-Holland. Amsterdam. 1971. P.Sedov, L. I. 1970, Mekhanika sploshnoy sredy, tom 2 [Continuum mechanics, volume 2], Nauka,https://doi.org/10.1007/978-0-387-33599-5_3Moscow, Russia.Levin V. A., Zubov L. M., Zingerman K. M. An exact solution for the problem of flexure of aKachanov, L. M. 1971, Foundations of the Theory of Plasticity, North-Holland, Amsterdam.composite beam with preliminarily strained layers under large strains // International Journalhttps://doi.org/10.1007/978-0-387-33599-5\_3of Solids and Structures. 2015. Vol. 67-68. P. 244-249. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.Levin, V. A., Zubov, L. M., Zingerman, K. M. 2015, “An exact solution for the problem of04.024flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains“, InternationalLevin V. A., Zubov L. M., Zingerman K. M. An exact solution for the problem of flexure ofJournal of Solids and Structures, vol. 67-68, pp. 244-249. https://doi.org/10.1016/j.a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Part 2. Solution forijsolstr.2015.04.024different types of incompressible materials // International Journal of Solids and Structures.Levin, V. A., Zubov, L. M., Zingerman, K. M. 2016, “An exact solution for the problem of flexureVol. 100-101. P. 558-565. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2016.09.029of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Part 2. Solution forLevin V. A., Zubov L. M., Zingerman K. M. Exact solution of the nonlinear bending problemdifferent types of incompressible materials“, International Journal of Solids and Structures, vol.for a composite beam containing a prestressed layer at large strains // Doklady Physics. 2015.-101, pp. 558-565. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2016.09.029Vol. 60. P. 24-27. https://doi.org/10.1134/S102833581501005XLevin, V. ,A., Zubov, L. M., Zingerman, K. M. 2015,“Exact solution of the nonlinear bendingZingerman K. M., Levin V. A. Some qualitative effects in the exact solutions of the Lam´eproblem for a composite beam containing a prestressed layer at large strains“, Doklady Physics,problem for large deformations // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol.vol. 60, pp. 24-27. https://doi.org/10.1134/S102833581501005XP. 205-219. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2012.05.012Zingerman, K. M., Levin, V. A. 2012, “Some qualitative effects in the exact solutions of theLevin V. A., Zubov L. M., Zingerman K. M. An exact solution to the problem of biaxial loadingLam´e problem for large deformations“, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 76,of a micropolar elastic plate made by joining two prestrained arc-shaped layers under largepp. 205-219. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2012.05.012strains // European Journal of Mechanics, A/Solids. 2021. Vol. 88. P. 104237. https://doi.Levin, V. A., Zubov, L. M., Zingerman, K. M. 2021, “An exact solution to the problem of biaxialorg/10.1016/j.euromechsol.2021.104237loading of a micropolar elastic plate made by joining two prestrained arc-shaped layers underLevin V.A., Podladchikov Y. Y., Zingerman K.M. An exact solution to the Lame problem forlarge strains“, European Journal of Mechanics, A/Solids, vol. 88, pp. 104237. https://doi.a hollow sphere for new types of nonlinear elastic materials in the case of large deformationsorg/10.1016/j.euromechsol.2021.104237// European Journal of Mechanics, A/Solids. 2021. Vol. 90. P. 104345. https://doi.org/10.Levin, V. A., Podladchikov, Y. Y., Zingerman, K. M. 2021, “An exact solution to the Lame/j.euromechsol.2021.104345problem for a hollow sphere for new types of nonlinear elastic materials in the case of large deformations“, European Journal of Mechanics, A/Solids, vol. 90, pp. 104345. https://doi.Levin V. A., Zubov L. M., Zingerman K. M. Large bending strains in an orthotropic beam withorg/10.1016/j.euromechsol.2021.104345a preliminarily stretched or compressed layer: Exact solution // Doklady Physics. 2016. Vol.Levin, V. A., Zubov, L. M., Zingerman, K. M. 2016, “Large bending strains in an orthotropicP. 407-411. https://dx.doi.org/10.1134/S1028335816080127beam with a preliminarily stretched or compressed layer: Exact solution“, Doklady Physics, vol., pp. 407-411. https://dx.doi.org/10.1134/S1028335816080127, pp. 407-411. https://dx.doi.org/10.1134/S1028335816080127

The authors declare that there are no conflicts of interest present.