chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-4-262-271cheb-1393Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceТочное решение задачи о поэтапной деформации многослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материалаExact solution to the problem of stage-by-stage deformation of a multilayer cylinder made of incompressible hypoelastic materialЛевинВладимир АнатольевичLevinVladimir Anatol’evich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

v.a.levin@mail.ruВершининАнатолий ВикторовичVershininAnatoliy Victorovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

versh1984@mail.ruЗингерманКонстантин МоисеевичZingermanKonstantin Moiseevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

zingerman@rambler.ruБирюковДанила РуслановичBiryukovDanila Ruslanovich

аспирант

postgraduate student

danilabirukov@rambler.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationТверской государственный университетРоссияTver State UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202216012023234262271Copyright © Левин В.А., Вершинин А.В., Зингерман К.М., Бирюков Д.Р., 20222022Левин В.А., Вершинин А.В., Зингерман К.М., Бирюков Д.Р.Levin V.A., Vershinin A.V., Zingerman K.M., Biryukov D.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1393

Работа посвящена одной из задач теории наложения больших деформаций. Представлен алгоритм точного решения задачи о формировании бесконечного кругового составного цилиндра из некоторого конечного количества гипоупругих слоёв. Задача решается в квазистатической постановке. Модель гипоупругости, соответствующая материалу цилиндрических слоёв, описывается уравнениями состояния с участием коротационной производнойДинса. При присоединении каждый очередной слой претерпевает две фазы деформации на протяжении некоторых отрезков времени. Первая фаза деформации — радиальное расширение или сжатие цилиндрического слоя. Вторая фаза деформации - кручение. Каждый очередной слой присоединяется к составному гипоупругому цилиндрическому телу после окончания деформации предыдущего слоя. При этом, деформация каждого гипоупругого слоя влияет на общее состояние составного цилиндра, то есть на все внутренние слои. Требуется определить поле напряжений в составном гипоупругом цилиндре. В работе описаны используемые при решении задаче обозначения и системы координат. Описаны все основные шаги решения задачи, в том числе вычисление компонент тензора напряжений. Такжеприведены формулы осевой силы и крутящего момента составного цилиндра. Проведены численные исследования. Результаты численных исследований — графики зависимостиосевой силы и крутящего момента от параметров деформаций — представлены в конце работы.

The work is devoted to one of the problems of the theory of superimposed large deformations.An algorithm for the exact solution of the problem of forming an infinite circular compound cylinder from a certain finite number of hypoelastic layers is presented. The problem is formulated in a quasi-static statement. The hypoelasticity model corresponding to the material of the cylindrical layers is described by the equations of state with the participation of the corotational Dienes derivative. When attached, each successive layer undergoes two phases of deformation over some time intervals. The first phase of deformation is the radial expansion or contraction of the cylindrical layer. The second phase of deformation is torsion. Each successive layer is attached to the composite hypoelastic cylindrical body after the deformation of theprevious layer is completed. At the same time, the deformation of each hypoelastic layer affects the general state of the composite cylinder, that is, all internal layers. It is required to determine the stress field in a composite nonlinearly elastic cylinder. The paper describes the notation and coordinate systems used in solving the problem. All the main steps for solving the problem are described, including the calculation of the stress tensor components. The formulas for the axialforce and torque of a compound cylinder are also given. Numerical studies have been carried out. The results of numerical studies - graphs of the dependence of the axial force and torque on the deformation parameters - are presented at the end of the work.

гипоупругий материалмногослойный цилиндррастяжение-сжатиекручениеналожение больших деформацийточное аналитическое решение.hypoelastic materialmultilayer cylindertension-compressiontorsionsuperposition of large strainsexact analytical solution.Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации программы Мате- матического центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2019-1621 в части, связанной с постановкой задачи, при поддержке РНФ (проект 22-11-00110) в части, связанной с разработкой метода и алгоритма решения задачи, и при поддержке гранта Президента Российской Федерации для молодых ученых — докторов наук (грант МД-208.2021.1.1) в части, связанной с численными расчетами.ReferencesМартынова Е.Д. Процессы кручения цилиндрических образцов из несжимаемых вязко-Martynova, E.D. 2019, ”Torsion processes of cylindrical samples from incompressible viscoelasticупругих материалов Максвелловского типа // Прикладная математика и механика. 2019.materials of the Maxwell type”. Prikladnaya Matematika i mekhanika (J. of Applied MathematicsТ. 83. Вып. 1. С. 95–106.and Mechanics) vol. 83, Issue 1, pp. 95–106.Овчинникова Н.В. Задача о кручении гипоупругого несжимаемого цилиндра // Матема-Ovchinnikova, N.V. 2020 ”The problem of torsion of a hypoelastic incompressible cylinder”.тическое моделирование и экспериментальная механика деформируемого твердого тела:Mathematicheskoe modelirovanie i eksperimental’naya mekhanika deformiruemogo tverdogoМежвузовский сборник научных трудов. Вып. 3. Тверь: Тверской государственный тех-tela: Mezhv. sbornik nauch. trudov. Vypusk 3. Tver: Tverskoy Gosudarstvenny Tekhnicheskiyнический университет. 2020. С. 65-72.Universitet. 2020, pp. 65-72.Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Torsion of a Composite Nonlinear Elastic CylinderLevin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M.: ”Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinderwith Inclusion at Large Initial Deformations // International Journal of Solids and Structures.with Inclusion at Large Initial Deformations”. International Journal of Solids and Structures,, V. 51, No. 6. P. 1403-1409., V. 51, No. 6, pp. 1403-1409.Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Torsion of a Composite Nonlinear Elastic CylinderLevin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M.: ”Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinderwith a Prestressed Inclusion // Doklady Physics. 2013. V. 58, No. 12. P. 540-543.with a Prestressed Inclusion”, 2013, Doklady Physics, V. 58, No. 12, pp. 540-543.Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution for the problem of flexure of aLevin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. 2015. ”An exact solution for the problem of flexurecomposite beam with preliminarily strained layers under large strains // International Journalof a composite beam with preliminarily strained layers under large strains”, Internationalof Solids and Structures. 2015. V. 67–68. P. 244-249. https://www.sciencedirect.com/Journal of Solids and Structures. vol. 67–68. pp. 244-249. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020768315001973?viascience/article/pii/S0020768315001973?viaLevin V.A., Zingerman K.M. A class of methods and algorithms for the analysis of successiveLevin, V.A., Zingerman, K.M. 2008, ”A class of methods and algorithms for the analysis oforigination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains. Communications in Numericalsuccessive origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains”, CommunicationsMethods in Engineering. 2008. V. 24, Issue 12. P. 2240-2251. https://doi.org/10.1002/in Numerical Methods in Engineering. vol. 24, Issue 12. pp. 2240-2251. https://doi.org/cnm.1080.1002/cnm.1080Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.Lurie, A.I. 1980, ”Nonlinear theory of elasticity” Nauka, Moscow, 1980, 512 p.Truesdell K.: A first course in rational continuum mechanics. Johns Hopkins University,Truesdell K. ”A first course in rational continuum mechanics”. Johns Hopkins University,Baltimore, Maryland, 1972, 592 p.Baltimore, Maryland, 1972, 592 p.Dienes J.K. On the analysis of rotation speed and stress in deformable bodies. Acta Mech. 1979.Dienes, J.K. 1979. On the analysis of rotation speed and stress in deformable bodies. ActaV. 32. P. 217-232.Mech. vol. 32. pp. 217-232.Dienes J.K. A discussion of material rotation and stress rate. Acta Mech. 1986. V. 65. P. 1–11.Dienes, J.K. 1986, ”A discussion of material rotation and stress rate”. Acta Mech. vol. 65. pp.Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды. Развитие математи-–11.ческого аппарата и основ общей теории. М.: Наука. 2017. 431 с.Brovko G.L.: ”Constitutive relations of continuum mechanics”, Development of the mathematicalБровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичностиapparatus and foundations of the general theory, 2017, 431 p.при больших деформациях // Упругость и неупругость. М.: Московский университет.Brovko G.L.: ”Some approaches to the construction of constitutive relations of plasticity atС. 68–81.large deformations”, Elasticity and inelasticity, M.: Mosk. un-t, 1987, pp. 68–81.Бровко Г.Л. Объективные тензоры и их отображения в классической механике сплошнойBrovko G.L.: ”Objective tensors and their mappings in classical continuum mechanics”,среды // Известия АН. Механика твердого тела. 2021. Т. 56. № 1. С. 65-83.Mechanics of Solids, 2021, Vol. 56, no. 1., pp. 65-83.Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделяхFinoshkina A.S.: ”Using new objective derivatives in the simplest models of hypoelasticity andгипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением // Известия Туль-plastic flow with kinematic hardening”, Tula State Univ., 2000, no. 6, pp. 160-166.ского государственного университета. Сер. Математика, механика, информатика. 2000. С.Finoshkina A.S.: ”On the construction of models of plasticity at finite deformations based on-166.constitutive relations known at small deformations”, Elasticity and Inelasticity: Proceedings ofФиношкина А.С. К построению моделей пластичности при конечных деформациях наthe International Scientific Symposium on the Problems of the Mechanics of Deformable Bodiesоснове определяющих соотношений, известных при малых деформациях // Упругость иDedicated to the 95th Anniversary of A.A. Ilyushin. M.: LENAND, 2006, pp. 256–264.неупругость: материалы Международного научного симпозиума по проблемам механикиKonovalov, D., Vershinin, A., Zingerman, K., Levin, V. 2017. ”The implementation of spectralдеформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. М.: Ле-element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinearнанд. 2006. С. 256–264.meshes”, Modelling and Simulation in Engineering, vol. 2017, paper no. 1797561.Konovalov D., Vershinin A., Zingerman K., Levin V. The implementation of spectral elementKarpenko, V.S., Vershinin, A.V., Levin, V.A., Zingerman, K.M. 2016. ”Some results of meshmethod in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes.convergence estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYSModelling and Simulation in Engineering, 2017, 2017, 1797561.industrial package”. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, vol. 158, no.Karpenko V.S., Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M. Some results of mesh convergence, paper no. 012049.estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYS industrial package.estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYS industrial package.IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2016, 158(1), 012049.IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2016, 158(1), 012049.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.