chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-4-251-261cheb-1392Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceТочное решение одной задачи о равновесии составной плиты с предварительно нагруженными частями из несжимаемых упругих материалов при наложении больших деформацийExact analytical solution for a problem of equilibrium of a composite plate containing prestressed parts made of incompressible elastic materials under superimposed finite strainsЛевинВладимир АнатольевичLevinVladimir Anatol’evich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

v.a.levin@mail.ruЗингерманКонстантин МоисеевичZingermanKonstantin Moiseevich

доктор физико-математических наук, профессор

 doctor of physical and mathematical sciences, professor

zingerman@rambler.ruБелкинАнтон ЭдуардовичBelkinAnton Eduardovich —

аспирант

postgraduate student

antonedurd2020@mail.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationТверской государственный университетРоссияTver State UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202216012023234251261Copyright © Левин В.А., Зингерман К.М., Белкин А.Э., 20222022Левин В.А., Зингерман К.М., Белкин А.Э.Levin V.A., Zingerman K.M., Belkin A.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1392

В статье для случая больших деформаций получено точное аналитическое решение задачи о напряжённо-деформированном состоянии композитной плиты, которая построена путём соединения двух предварительно деформированных слоев. Каждый слой получается путём распрямления цилиндрической панели, первоначально имеющей форму сектора полого круглого цилиндра. Цилиндры изготовлены из несжимаемого нелинейно-упругого материала – трелоарового, или неогуковского, материала. Оси цилиндров до деформации ортогональны. После соединения плита подвергается двухосному растяжению или сжатию в своей плоскости. Задача формулируется на основе теории наложения больших деформаций. Большую роль при решении задачи играет тот факт, что материалы панелей являютсянесжимаемыми. При решении задачи, а также при проведении численных исследований, исследуются нелинейные эффекты. Полученное решение может быть использовано для верификации программного обеспечения, которое предназначено для численного решения задач о напряженно-деформированном состоянии элементов конструкций, выполненных соединением предварительно деформированных частей. Для полученного решения задачи проведены численные исследования, результаты которых – зависимости напряжения на концах плит от различных параметров деформаций – представлены в работе.

In the article, for the case of large deformations, an exact analytical solution of the problem of the stress-strain state of a composite slab is presented, which is built by connecting two predeformed layers. Each layer is obtained by straightening a cylindrical panel, initially shaped like a sector of a hollow circular cylinder. The cylinders are made of incompressible non-linear-elastic materials — Treloar’s, or neo-Hookean materials. The axes of cylinders before deformation areorthogonal. After connection, the plate is subjected to biaxial tension or compression in its plane. The problem is formulated on the basis of the theory of superimposed large strains.An important role in solving the problem is played by the fact that the plate material is incompressible. When solving the problem, as well as when conducting numerical studies, nonlinear effects are investigated. The resulting solution can be used to verify software that is designed to numerically solve problems of the stress-strain state of structural elements made by connecting pre-deformed parts. For the obtained solution of the problem, numerical studies were carried out, the results of which - the dependence of the stress at the ends of the plateson various deformation parameters - are presented in the work.

предварительно деформированные слоиматериал Трелоарабольшие деформациинелинейные эффекты.predeformed layersTreloar materiallarge deformationsnonlinear effects.Работа выполнена в МГУ имени М.В. Ломоносова при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации программы Математического центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2019-1621 в части, связанной с постановкой задачи, при поддержке РНФ (проект 22-11-00110) в части, связанной с разработкой метода и алгоритма решения задачиReferencesLevin V.A., Tarasiev G.S. Superposition of large elastic deformations in the space of final-statesLevin, V.A., Tarasiev, G.S. “Superposition of large elastic deformations in the space of finalstates”.// Doklady Akademii Nauk SSSR. 1980. V. 251, pp. 63–66.Doklady Akademii Nauk SSSR. 251 (1980), 63–66.Zingerman K.M., Levin V.A. Redistribution of finite elastic strains after the formation ofZingerman, K.M., Levin, V.A. “Redistribution of finite elastic strains after the formation ofinclusions. Approximate analytical solution // Journal of Applied Mathematics and Mechanics.inclusions. Approximate analytical solution”. Journal of Applied Mathematics and Mechanics,V. 73, Issue 6, pp. 710-721.:6 (2009), 710-721.Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution to the problem of biaxial loadingLevin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. “An exact solution to the problem of biaxial loadingof a micropolar elastic plate made by joining two prestrained arc-shaped layers under largeof a micropolar elastic plate made by joining two prestrained arc-shaped layers under largestrains // European Journal of Mechanics — A/Solids. 2021. V. 88, paper 104237.strains”. European Journal of Mechanics — A/Solids, 88 (2021), 104237.Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. The torsion of a composite, nonlinear-elastic cylinderLevin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. “The torsion of a composite, nonlinear-elasticwith an inclusion having initial large strains // International Journal of Solids and Structures.cylinder with an inclusion having initial large strains”. International Journal of Solids andV. 51, pp. 1403–1409.Structures, 51 (2014), 1403–1409.Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Multiple joined prestressed orthotropic layers underLevin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. “Multiple joined prestressed orthotropic layerslarge strains // International Journal of Engineering Science. 2018. V. 133, pp. 47–59.under large strains. International Journal of Engineering Science”, 133 (2018), 47–59.Levin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. An exact solution for the problem of flexure of aLevin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. “An exact solution for the problem of flexure of acomposite beam with preliminarily strained layers under large strains // International Journalcomposite beam with preliminarily strained layers under large strains”, International Journalof Solids and Structures. 2015. V. 67–68, pp. 244-249.of Solids and Structures. 67–68 (2015), 244-249.Абрамов С.М., Амелькин С.А., Клюев Л.В., Крапивин К.Ю., Ножницкий Ю.А., СерветникAbramov, S.M., Amel’kin S.A., Kljuev, L.V., Krapivin, K.J., Nozhnickij, J.A., Servetnik, A.N.,А.Н., Чичковский А.А. Использование программы Фидесис для моделирования развитияChichkovskij, A.A. “Modeling the development of large plastic deformations in a rotating diskбольших пластических деформаций во вращающемся диске // Чебышевский Сборник. Т.in the Fidesys program”. Chebyshevskii Sbornik. 18:3 (2017), 15–27. (In Russ.), № 3. С. 15–27.Konovalov, D. A., Yakovlev, M. Ya. “Numerical estimation of effective elastic properties ofКоновалов Д. А., Яковлев М. Я. О численной оценке эффективных упругих характе-elastomer composites under finite strains using spectral element method with CAE Fidesys”.ристик эластомерных композитов при конечных деформациях с использованием методаChebyshevskii Sbornik. 18:3 (2017), 316–329. (In Russ.)спектральных элементов с помощью CAE Fidesys // Чебышевский Сборник. Т. 18, № 3.Vershinin, A. V., Sabitov, D. I., Ishbulatov, S. Y., Myasnikov, A. V. “HydrogeomechanicalС. 316–329.modeling of reservoir by external coupling of specialized computational software and universalВершинин А.В., Сабитов Д.И., Ишбулатов С.Ю., Мясников А.В. ГидрогеомеханическоеCAE Fidesys”. Chebyshevskii Sbornik. 18:3 (2017), 154–186. (In Russ.)моделирование гидрогеомеханических пластовых процессов путем внешнего сопряженияNoor, A.K., Burton, W.S. “Assessment of shear deformation theories for multilayered compositeспециализированных вычислительных пакетов и универсальной CAE Fidesys // Чебышев-plates”. Applied Mechanics Review. 41 (1989), 1–18.ский Сборник. Т. 18, № 3. С. 154–186.Carrera, E. “Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates andNoor, A.K., Burton, W.S.: Assessment of shear deformation theories for multilayered compositeshells”. ARCO 9, pp. 87–140 (2002).plates // Applied Mechanics Review. 1989. V. 41, pp. 1–18.Kulikov, G.M. “Computational models for multilayered composite shells with application toCarrera, E.: ”Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates andtires”. Tire Science and Technology. 24:1 (1996), 11–38.shells”. ARCO 9, pp. 87–140 (2002).Badriev, I. B., Makarov, M. V., Paimuhin, V. N. “Longitudinal and transverse bending byKulikov G.M. Computational models for multilayered composite shells with application to tiresa cylindrical shape of the sandwich plate stiffened in the end sections by rigid bodies”. IOP// Tire Science and Technology. 1996. V. 24, No. 1, pp. 11-38.Conference Series: Materials Science and Engineering. 158 (2016), 012011.Badriev I. B., Makarov M. V., Paimuhin V. N. Longitudinal and transverse bending by aMakarov, M. V., Badriev, I. B., Buyanov, V. Yu., Smirnova, E. V. “On solving the geometricallycylindrical shape of the sandwich plate stiffened in the end sections by rigid bodies // IOPnonlinear and linear problems of transverse bending of a hinged fixing sandwich plate withConference Series: Materials Science and Engineering. 2016. V. 158, paper 012011.transversally soft core”. Journal of Physics: Conference Series, 1158:3 (2019), 032026.Makarov M. V., Badriev I. B., Buyanov V. Yu., Smirnova E. V. On solving the geometricallyLurie, A.I. “Non-linear theory of elasticity”. Nauka, Moscow, 1980.nonlinear and linear problems of transverse bending of a hinged fixing sandwich plate withTreloar, L.R.G. “The Physics of Rubber Elasticity”. Oxford University Press, 1975.transversally soft core // Journal of Physics: Conference Series. 2019. V. 1158, No. 3, paperMooney, M. “A theory of large elastic deformation”. Journal of Applied Physics. 11, (1940), 582https://doi.org/10.1063/1.1712836https://doi.org/10.1063/1.1712836Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.Zubov, L.M. “Universal deformations of micropolar isotropic elastic solids”. Mathematics andTreloar, L.R.G.: ”The Physics of Rubber Elasticity”. Oxford University Press (1975)Mechanics of Solids. 21 (2016), 152–167.Mooney, M.: ”A theory of large elastic deformation”. Journal of Applied Physics. 11, 582 (1940)Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Micropolar Mechanics. Springer.https://doi.org/10.1063/1.1712836Heidelberg. 2013.Zubov L.M. Universal deformations of micropolar isotropic elastic solids // Mathematics andZubov L.M. Universal deformations of micropolar isotropic elastic solids // Mathematics andMechanics of Solids. 2016. V. 21, pp. 152–167.Mechanics of Solids. 2016. V. 21, pp. 152–167.Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Micropolar Mechanics. Springer.Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Micropolar Mechanics. Springer.Heidelberg. 2013.Heidelberg. 2013.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.