В теории полиадических групп велика роль групп A∗ и A0, фигури- рующих в теореме Поста о смежных классах [2], утверждающей, что для всякой n-арной группы ⟨A, [ ]⟩ существует группа A∗ , в которой имеется нормальная подгруппа A0 такая, что фактор-группа A∗/A0 — циклическая группа порядка n − 1. Образующий смежный класс xA0 этой цикличе- ской группы является n-арной группой с n-арной операцией, производной от операции в группе A∗ , при этом n-арные группы ⟨A, [ ]⟩ и ⟨xA0, [ ]⟩ изоморфны. Группу A∗ называют универсальной обертывающей группой Поста, а группу A0 — соответствующей группой. В начале статьи рассматривается обобщение теоремы Поста о смежных классах: для всякой n-арной группы ⟨A, [ ]⟩, n = k(m − 1) + 1, в универ- сальной обертывающей группе Поста A∗ имеется нормальная подгруппа mA такая, что фактор-группа A∗/ mA — циклическая группа порядка m−1. Причем, A0 ⊆ mA ⊆ A∗ и mA/A0 – циклическая группа порядка k. В статье изучается перестановочность элементов в n-арной группе. В частности, изучается m-полуабелевость в n-арных группах, которая яв- ляется обобщением широко изучаемых понятий абелевости и полуабеле- вости. Напомним, что n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ называется абелевой, если в ней для любой подстановки σ множества {1, 2, . . . , n} верно тождество [a1a2 . . . an] = [aσ(1)aσ(2) . . . aσ(n) ], и n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ называется полуабелевой, если в ней верно тож- дество [aa1 . . . an−2b] = [ba1 . . . an−2a]. Обобщая эти два определения, Э. Пост назвал n-арную группу ⟨A, [ ]⟩ m-полуабелевой, если m − 1 делит n − 1 и (aa1 . . . am−2b, ba1 . . . am−2a) ∈ θA для любых a, a1, . . . , am−2, b ∈ A. Установлен новый критерий m-полуабелевости n-арной группы, сфор- мулированный с помощью подгруппы mA универсальной обертывающей группы Поста: n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ является m-полуабелевой тогда и только тогда, когда группа mA абелева. Для n = k(m − 1) + 1 с помощью фиксированных элементов c1, . . . . . . , cm−2 ∈ A на n-арной группе ⟨A, [ ]⟩ строится (k + 1)-арная груп- па ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩. На смежном классе A(m−1) из обобщенной теоремы Поста строится (k + 1)-арная группа ⟨A(m−1) , [ ]k+1⟩. Доказывается изо- морфизм построенных (k + 1)-арных групп. Этот изоморфизм позволяет доказать еще один критерий m-полуабелевости n-арной группы: n-арная группа ⟨A, [ ]⟩ m-полуабелева тогда и только тогда, когда для некоторых c1, . . . , cm−2 ∈ A (k + 1)-арная группа ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩ является абелевой.
In the theory of polyadic groups plays an important role groups A∗ and A0, appearing in Post’s Coset Theorem [2], asserts that for every n-ary groups ⟨A, [ ]⟩ exists a group of A∗ , in which there is normal subgroup A0 such that the factor group A∗/A0 — cyclic group of order n−1. Generator xA0 this cyclic group is the n-ary group with n-ary operation derived from operation in the group A∗ , wherein n-ary groups ⟨A, [ ]⟩ and ⟨xA0, [ ]⟩ isomorphic. Group A∗ is called the Post’s universal covering group, and the group A0 — appropriate group. The article begins with a generalization of the Post’s Coset Theorem: for every n-ary groups ⟨A, [ ]⟩, n = k(m − 1) + 1, the Post’s universal covering group A∗ has a normal subgroup mA such that the factor group A∗/ mA — cyclic group of order m − 1. Moreover, A0 ⊆ mA ⊆ A∗ and mA/A0 - cyclic group of order k. In this paper we study the permutability of elements in n-ary group. In particular, we study the m-semi-commutativity in n-ary groups, which is a generalization of of the well-known concepts of commutativity and semicommutativity. Recall that the n-ary group ⟨A, [ ]⟩ is called abelian if it contains any substitution σ of the set {1, 2, . . . , n} true identity [a1a2 . . . an] = [aσ(1)aσ(2) . . . aσ(n) ], and n-ary group ⟨A, [ ]⟩ is called a semi-abelian if it true identity [aa1 . . . an−2b] = [ba1 . . . an−2a] Summarizing these two definitions, E. Post called n-ary group ⟨A, [ ]⟩ m-semiabelian if m − 1 divides n − 1 and (aa1 . . . am−2b, ba1 . . . am−2a) ∈ θA for any a, a1, . . . , am−2, b ∈ A. We have established a new criterion of m-semi-commutativity of n-ary group, formulated by a subgroup mA of the Post’s universal covering group: n-ary group ⟨A, [ ]⟩ is m-semi-abelian if and only if the group mA is abelian. For n = k(m−1) + 1 by fixed elements c1, . . . , cm−2 ∈ A on n-ary group of ⟨A, [ ]⟩ construct (k + 1)-ary group ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩. On the coset A(m−1) in generalized Post’s Coset Theorem construct (k+ 1)-ary group ⟨A(m−1) , [ ]k+1⟩. Proved isomorphism of constructed (k + 1)-ary groups. This isomorphism allows us to prove another criterion m-semi-commutativity n-ary group: nary group ⟨A, [ ]⟩ is m-semi-abelian if and only if for some c1, . . . , cm−2 ∈ A (k + 1)-ary group ⟨A, [ ]k+1,c1...cm−2 ⟩ is abelian.