chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-4-77-91cheb-1377Research ArticleСтатьиArticleСистемы совместных полиномов Туэ для квадратичных иррациональностейSystems of joint Thue polynomials for quadratic irrationalitiesДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

i_rebrova@mail.ruМатвееваЕлизавета АлександровнаMatveevaElizabeth Alexandrovnamorozova.tspu@gmail.comТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университетРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical University; Tula State UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationЦентр творческого развития и гуманитарного образованияРоссияCenter for Creative Development and Humanitarian EducationRussian Federation2022160120232347791Copyright © Добровольский Н.Н., Добровольский Н.М., Реброва И.Ю., Матвеева Е.А., 20222022Добровольский Н.Н., Добровольский Н.М., Реброва И.Ю., Матвеева Е.А.Dobrovol’skii N.N., Dobrovol’skii N.M., Rebrova I.Y., Matveeva E.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1377

В работе вводится новое понятие — система совместных полиномов Туэ для системы целых алгебраических иррациональностей. Проводится параллельное изложение элементов теории полиномов Туэ для одной алгебраической иррациональности и основ теории для системы совместных полиномов Туэ для системы целых алгебраических иррациональ-ностей. Сформулирована гипотеза об аналоге теоремы М. Н. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка 𝑗 существуют два основных полинома Туэ 𝑗-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Для системы двух квадратичных иррациональностей, например, √2 и √3, найдены системы совместных основные полиномов порядка не ниже 0-го, 1-го и 2-го. Доказана теорема об общем виде пары основных полиномов Туэ произвольного порядка 𝑛 для квадратичной иррациональности √𝑐, где 𝑐 — бесквадратное натуральное число.

The paper introduces a new concept — a system of joint Thue polynomials for a system of integer algebraic irrationalities. A parallel presentation of the elements of the theory of Thue polynomials for one algebraic irrationality and the foundations of the theory for a system of joint Thue polynomials for a system of integer algebraic irrationalities is carried out. A hypothesis is formulated about an analogue of the theorem of M. N. Dobrovolsky (Sr.) that for each orderof 𝑗 there are two main Thue polynomials of the 𝑗th order, through which all the others are expressed. For a system of two quadratic irrationalities, for example, √2 and √3, systems of joint basic polynomials of order no lower than 0, 1 and 2 are found. A theorem is proved on the general form of a pair of basic Thue polynomials of arbitrary order 𝑛 for quadratic irrationality √𝑐, where 𝑐 is a square-free natural number.

минимальный многочленприведённая алгебраическая иррациональ- ностьостаточные дробицепные дробипара Туэсистема совместных полиномов Туэ.the minimum polynomial of the given algebraic irrationalityresidual fractionscontinued fractionsTue paira system of joint Tue polynomials.Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004_р_а. и при финансовой поддержке гранта правительства Тульской области по Договору ДС/294 от 16.11.2021 г.The research was carried out with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research within the framework of a scientific project No.19-41-710004_p_a. and with the financial support of a grant from the Government of the Tula region under the Agreement DS/294 dated 16.11.2021.ReferencesДобровольский М. Н. О разложении иррациональностей третьей степени в непрерывные дроби // Чебышевский сборник. Т. XI, вып. 4(36). С. 4 — 24.Dobrovol’skii M. N. 2010 "On the decomposition of irrationalities of the third degree into continuous fractions" Chebyshevsky Sb. vol. XI, №. 4 (36). pp. 4–24.В. А. Кречмар О верхнем пределе числа представлений целого числа некоторыми бинарными формами четвертой степени // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1939. Т. 3, вып. 3. С. 289–302.V. A. Kretschmar 1939, "On the upper limit of the number of representations of an integer by some binary forms of the fourth degree" , Izv. AN USSR. Ser. matem. Vol. 3, issue 3. pp. 289–302.Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения : Материалы XIII Международной конференции, Тула, 15–17 апреля 2015 года / Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. – Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого, 2015. – С. 161-168.E. A. Morozova 2015, "Tue polynomials for quadratic irrationalities" , Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems and applications : Proceedings of the XIII International Conference, Tula, April 15-17, 2015 / Tolstoy Tula State Pedagogical University. – Tula: Tula State Pedagogical University named after L.N. Tolstoy, – pp. 161-168.Подсыпанин В. Д. О многочленах Туэ и разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник. Т. XI, вып. 4(36). С. 25 — 69.Podsypanin V. D. 2010 "On Thue polynomials and the expansion of irrationalities of the fourth degree into a continued fraction"Chebyshevskii sbornik. T. XI, vol. 4 (36). pp. 25–69.Siegel C. L. ¨Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abhandlungen der Preuss. Akad. d. Wissensch., 1929, Phys.-Math. Klasse. PP. 1–70.Siegel C. L. 1929, "¨Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen" , Abhandlungen der Preuss. Akad. d. Wissensch., Phys.-Math. Klasse. PP. 1–70.Thue A. ¨Uber Ann¨aherungswerte algebraischer Zahlen // J. reine ang. Math. 1910. Vol. 135. PP. 284–305.Thue A. 1910. "¨Uber Ann¨aherungswerte algebraischer Zahlen" , J. reine ang. Math. Vol. 135. PP. 284–305.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.