chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-4-64-76cheb-1376Research ArticleСтатьиArticleОбратная задача для основного моноида типа 𝑞The inverse problem for a basic monoid of type 𝑞ДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университетРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical University; Tula State UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation2022160120232346476Copyright © Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., 20222022Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М.Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1376

В работе для произвольного основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 решается обратная задача, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида 𝑀(P(𝑞)), исходя из асимптотики распределения псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞.Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама.Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает.Введено новое понятие 𝐶 логарифмической 𝜃-степенной плотности.Показано, что любой моноид 𝑀(P(𝑞)) для последовательности псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞 имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞.Показано, что если 𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность для основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 существует, то 𝜃 = 12 и для константы 𝐶 справедливы неравенства𝜋√︁1/(3ln𝑞)<= 𝐶 <= 𝜋√︁2/(3ln𝑞).Полученные результаты аналогичны ранее полученным авторами при решении обратной задачи для моноидов, порожденных произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа 𝑞.Для основных моноидов 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 остается открытым вопрос о существовании 𝐶 логарифмической 1 2-степенной плотности и величине константы 𝐶.

In the paper for an arbitrary basic monoid 𝑀(P(𝑞)) of type 𝑞 the inverse problem is solved, that is, finding the asymptotics for the distribution function of the elements of the monoid 𝑀(P(𝑞)), based on the asymptotics of the distribution of pseudo-prime numbers P(𝑞) of type 𝑞.To solve this problem, we consider two homomorphisms of the main monoid 𝑀(P(𝑞)) of type 𝑞 and the distribution problem reduces to the additive Ingham problem.It is shown that the concept of power density does not work for this class of monoids. A new concept of 𝐶 logarithmic 𝜃-power density is introduced.It is shown that any monoid 𝑀(P(𝑞)) for a sequence of pseudo-simple numbers P(𝑞) of type 𝑞 has upper and lower bounds for the element distribution function of the main monoid 𝑀(P(𝑞)) of type 𝑞.It is shown that if 𝐶 is a logarithmic 𝜃-power density for the main monoid 𝑀(P(𝑞)) of the type 𝑞 exists, then 𝜃 = 12 and for the constant 𝐶 the inequalities are valid 𝜋√︁1/(3ln𝑞)<= 𝐶 <= 𝜋√︁2/(3ln𝑞).The results obtained are similar to those previously obtained by the authors when solving the inverse problem for monoids generated by an arbitrary exponential sequence of primes of type 𝑞.For basic monoids 𝑀(P(𝑞)) of the type 𝑞, the question remains open about the existence of a 𝐶 logarithmic 1 2 -power density and the value of the constant 𝐶.

дзета-функция Риманаряд Дирихледзета-функция моноида натуральных чиселэйлерово произведениеэкспоненциальная последовательность простыхосновной моноид 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность.Riemann zeta functionDirichlet serieszeta function of the monoid of natural numbersEuler productexponential sequence of primesthe basic monoid 𝑀(P(𝑞)) of type 𝑞𝐶 logarithmic 𝜃-power density.Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РНФ № 22-21-00544Acknowledgments: This work was prepared under a grant from the RSF № 22-21-00544.ReferencesЭ. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта–Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66,Bombieria E., Ghoshb A., 2011, “Around the Davenport–Heilbronn function”, Uspekhi Mat.вып. 2(398). С. 15–66.Nauk, 66:2(398) pp. 15–66.Б. М. Бредихин, “Остаточный член в асимптотической формуле для функции 𝜈𝐺(𝑥)”, Изв.Bredikhin, B.M., 1960, “The remainder term in the asymptotic formula for the function 𝜈𝐺(𝑥)”,вузов. Матем., 1960, 6, 40–49.Izvestiya vuzov Matematika, no. 6, pp. 40–49.Б. М. Бредихин, “Элементарное решение обратных задач о базисах свободных полу-Bredikhin, B.M., 1960, “An elementary solution of inverse problems on bases of free semigroups”,групп”, Матем. сб., 50(92):2 (1960), 221–232.matematicheskiy sbornik, 50(92):2, pp. 221–232.Б. М. Бредихин, “Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями”, Докл.Bredikhin, B.M., 1958, “Free numerical semigroups with power densities”, Doklady AkademiiАН СССР, 118:5 (1958), 855–857.nauk SSSR, 118:5, pp. 855–857.Б. М. Бредихин, “О степенных плотностях некоторых подмножеств свободных полу-Bredikhin, B.M., 1958, “On power densities of some subsets of free semigroups”, Izvestiya vuzovгрупп”, Изв. вузов. Матем., 1958, 3, 24–30.Matematika, no. 3, pp. 24–30.Б. М. Бредихин, “Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями”, Матем.Bredikhin, B.M., 1958, “Free numerical semigroups with power densities”, matematicheskiyсб., 46(88):2 (1958), 143–158.sbornik, 46(88):2, pp. 143–158.Б. М. Бредихин, “Пример конечного гомоморфизма с ограниченной сумматорной функ-Bredikhin, B.M., 1956, “An example of a finite homomorphism with a bounded adder function”,цией”, УМН, 11:4(70) (1956), 119–122.UMN, 11:4(70), pp. 119–122.Б. М. Бредихин , Некоторые вопросы теории характеров коммутативных полугрупп, Тру-Bredikhin, B.M., 1956, “Some questions of the theory of characters of commutative semigroups”,ды 3-го Всесоюзн. матем. съезда, т. I, Москва, Изд. АН СССР (1956), 3.Trudy 3-go Vsesoyuznogo matematicheskogo s’yezda, vol. 1, Moskva, izdatel’stvo akademii naukБ. М. Бредихин , О сумматорных функциях характеров числовых полугрупп, ДАН 94SSSR, no. 3.(1954), 609 — 612.Bredikhin, B.M., 1954, “On adder functions of characters of numerical semigroups”, DAN 94,Б. М. Бредихин , О характерах числовых полугрупп с достаточно редкой базой, ДАН 90pp. 609 – 612.(1953), 707 — 710.Bredikhin, B.M., 1953, “On the characters of numerical semigroups with a rather rare base”,Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.DAN 90, pp. 707–710.Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.Voronin S. M., Karacuba A. A., 1994, Dzeta-funkcija Rimana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добро-Gurvic A., Kurant R., 1968, Teorija funkcij, Izd-vo Nauka, Moskva, 618 p.вольский Н. Н., Добровольский Н. М., Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-Demidov S. S., Morozova E. A., Chubarikov V. N., Rebrov I. Yu., Balaba I. N., Dobrovol’skiiва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. —N. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovol’skaya L. P., Rodionov A. V., Pikhtil’kova O. A.,Т. 18, вып. 4. — С. 6–85., "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol. 18, № 4.М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Б. Кожухов, И.pp. 6–85.Ю. Реброва. Моноид произведений дзета-функций моноидов натуральных чисел // Чебы-Dobrovolsky N. N., 2017, "The zeta-function is the monoid of natural numbers with uniqueшевcкий сборник. 2022. Т. 23, вып. 3, С. 102–117.factorization" , Chebyshevskii Sbornik, vol 18, № 4 pp. 188–208.Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным раз-N. N. Dobrovol’skii, 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into primeложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187–207.elements" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 79–105.Добровольский Н. Н. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением наN. N. Dobrovol’skii, 2018, "The zeta function of monoids with a given abscissa of absoluteпростые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79–105.convergence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 142–150.Добровольский Н. Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходи-N. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2018,мости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142–150."About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence ofДобровольский Н. Н. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Че-simple" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 106–123.бышевcкий сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148–163.N. N. Dobrovol’skii, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova,Н. Н. Добровольский, “Об абсциссе абсолютной сходимости одного класса обобщенных, "Dirichlet series algebra of a monoid of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20,произведений Эйлера”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 464–469no. 1, pp. 180–196.Н. Н. Добровольский. Распределение простых элементов в некоторых моноидах натураль-N. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, A. V. Rodionov, 2019, "Monoidsных чисел // Матем. заметки (в печати).of natural numbers in the numerical-theoretical method in the approximate analysis" ,Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Балаба И. Н., Ребро-Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 164–179.ва И. Ю. Гипотеза о ”заградительном ряде” для дзета-функций моноидов с экспоненциаль-N. N. Dobrovol’skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii 2018, "On theной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106–123.number of prime elements in certain monoids of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik,Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба,vol. 19, no. 2, pp. 123–141.И. Ю. Реброва. Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // ЧебышевcкийN. N. Dobrovol’skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii 2018, "On theсборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180–196.monoid of quadratic residues" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 95–108.Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды на-Dobrovolskaya L. P., Dobrovolsky M. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovolsky N. N., 2014,туральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевcкий"On Hyperbolic Zeta Function of Lattices" , In: Continuous and Distributed Systems. Solidсборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164–179.Mechanics and Its Applications, Vol. 211. pp. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О ко-N. N. Dobrovol’skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol’skii, 2020, "Inverse problem for a monoidличестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевcкийwith an exponential sequence of Prime numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp.сборник. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 123–141.–185.Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О мо-Postnikov, A. G., 1971, Introduction to analytical number theory Izd-vo "Nauka" , Moskva,ноиде квадратичных вычетов // Чебышевcкий сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95–108.p.Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для моноидаTitchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевcкий сборник, 2020, Т. 21,Trost E., 1959, "Prime numbers" , Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 136 p.вып. 1, С. 165–185.Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.А. Г. Постников Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of 𝐿-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, —Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.p.Э. Трост Простые числа — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. — 136 с.Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math.Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.Soc. Vol. 11. pp. 181–185.Чудаков Н. Г. Введение в теорию 𝐿-функций Дирихле. — М. – Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.Чудаков Н. Г. Введение в теорию 𝐿-функций Дирихле. — М. – Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.H. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc.H. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc.Vol. 11. P. 181–185.Vol. 11. P. 181–185.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.