кандидат физико-математических наук, участник семинара Никольского (МИАН)
candidate of physical and mathematical sciences,Participant of the Nikolsky Seminar (MIAN)
Пусть 𝑂𝑋𝑌 — декартова система координат с целочисленной решёткой, единичные квадраты которой раскрашены в шахматном порядке. Целочисленная аппроксимация отрезка 𝐴𝐵 задается с помощью клетчатой области S𝐴𝐵 из (раскрашенных) клеток, внутренность каждого из которых имеет непустое пересечение с 𝐴𝐵. Если 𝑃±𝐴𝐵 — правая и левая замкнутые полуплоскости, определяемые прямой 𝑙𝐴𝐵 посредством точки 𝐴 и 𝐵, тоS±𝐴𝐵 = S𝐴𝐵 ∩𝑃±𝐴𝐵 — его правая и левая области. (Внутри S𝐴𝐵 нет целых точек.) Ломанные L±(𝐴±,𝐵±) из S± 𝐴𝐵 с концами 𝐴± и 𝐵± и целыми вершинами — правая и левая (целочисленными) аппроксимациями отрезка 𝐴𝐵 — концы выбираются из вершин крайних клеток.Если 𝑙𝐴𝐵 параллельна одной из осей координат, то полагаем S𝐴𝐵 = ? и тогда аппроксимация отрезка 𝐴𝐵 есть минимальный отрезок с целыми концами, содержащий 𝐴𝐵. Такие аппроксимации строятся с помощью алгоритма “вытягивания носов”, который представляет собой геометрическую интерпретацию цепной дроби углового коэффициента прямой 𝑙𝐴𝐵. На основании этого метода построения получена точная формула для вычислениячисла целых точек внутри произвольного треугольника, а также частично решена задача С. В. Конягина о шахматной раскраске: Если U(𝑡) множество всех раскрашенных клеток из треугольника, отсекаемого прямой 𝑓𝑡 : 𝑦 = −𝛼𝑥+𝑡, 𝛼, 𝑡 > 0, то разность 𝑢(𝑡) междубелыми и черными клетками из U(𝑡)для каждого положительного иррационального 𝛼 не ограничена ни снизу, ни сверху, когда 𝑡 → ∞.Решение получено для чисел вида: 𝑒±1, tg±1, [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .]±1, [𝑎+0 ; 𝑎+1 , 𝑎+2 , . . .]±1,[𝑎+0 ; 𝑎−1 , 𝑎+2 , . . .]±1, где верхний индекс плюс (минус) указывает на четность (нечетность)элемента цепной дроби, определяемой 𝛼.Метод построения аппроксимации отрезка был применен при решении задачи о шахматной раскраске для чисел(√5+1)/2 , [𝑎+0 ; 𝑎+1 , 𝑎+2 , . . .], 𝑎−2𝑛+1 и [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .], если ограничено 2𝑘−1𝑏3𝑏9 · · · 𝑏6(𝑘−1)+3 + · · · + 22Σ︀𝑘𝑖1>𝑖2>𝑖3=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3𝑏6(𝑘−𝑖2)+3 𝑏6(𝑘−𝑖3)+3 + 2Σ︀𝑘 𝑖1>𝑖2=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3𝑏6(𝑘−𝑖2)+3 + Σ︀𝑘 𝑖=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3 + 1,для некоторых 𝑏𝑛 = ⌊︁𝑎−𝑛−12⌋︁, представляющих целую часть 𝑎−(𝑛−1)/2 . Так при 𝑏𝑛 = 0 цепная дробь [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .] =(√5+1)/2 .
Let 𝑂𝑋𝑌 be a Cartesian coordinate system with an integer lattice whose unit squares are staggered. The integer approximation of the segment 𝐴𝐵 is given using the cellular domain S𝐴𝐵 of (colored) cells, the interior of each of which.has a non-empty intersection with 𝐴𝐵.If 𝑃± 𝐴𝐵 — right and left closed half-planes defined by the line 𝑙𝐴𝐵 by the point 𝐴 and 𝐵, then S± 𝐴𝐵 = S𝐴𝐵 ∩ 𝑃± 𝐴𝐵 — its right and left areas. (There are no integer points inside S𝐴𝐵.)Polyline L±(𝐴±,𝐵±) from S± 𝐴𝐵 with ends 𝐴± and 𝐵± and whole vertices — right and left by (integer) approximations of the segment 𝐴𝐵 — the ends are selected from the vertices of the extreme cells. If 𝑙𝐴𝐵 is parallel to one of the coordinate axes, then we assume S𝐴𝐵 = ? and then approximation of the segment 𝐴𝐵 is minimum segment with integer ends containing 𝐴𝐵.Such approximations are constructed using the algorithm ‘pulling noses", which is a geometric interpretation of the chain fraction of the angular coefficient of the straight line 𝑙𝐴𝐵. Based on this construction method, an exact formula for calculating the number of integer points inside an arbitrary triangle is obtained, and the problem of S.V. Konyagin is partially solved about chess coloring: If U(𝑡) is the set of all colored cells from a triangle cut off by a straight line 𝑓𝑡 : 𝑦 = −𝛼𝑥 + 𝑡, 𝛼, 𝑡 > 0, then the difference 𝑢(𝑡) between white and black cells from U(𝑡)for every positive irrational 𝛼 is bounded neither from below nor from above when 𝑡 → ∞. The solution is obtained for numbers of the form: 𝑒±1, tg±1, [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .]±1, [𝑎+0 ; 𝑎+1 , 𝑎+2 , . . .]±1,[𝑎+0 ; 𝑎−1 , 𝑎+2 , 𝑙𝑑𝑜𝑡𝑠]±1, where the superscript plus (minus) indicates on the parity (odd) of the element of the continued fraction defined by 𝛼.The method of constructing an approximation of the segment was used to solve the problem of chess coloring for the numbers(√5+1)/2 , [𝑎+0 ; 𝑎+1 , 𝑎+2 , . . .], 𝑎−2𝑛+1 and [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , 𝑙𝑑𝑜𝑡𝑠], if limited 2𝑘−1𝑏3𝑏9 · · · 𝑏6(𝑘−1)+3 + · · · + 22Σ︀𝑘𝑖1>𝑖2>𝑖3=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3𝑏6(𝑘−𝑖2)+3 𝑏6(𝑘−𝑖3)+3 + 2Σ︀𝑘 𝑖1>𝑖2=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3𝑏6(𝑘−𝑖2)+3 + Σ︀𝑘 𝑖=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3 + 1,for some 𝑏𝑛 = ⌊︁𝑎−(𝑛−1)/2⌋︁ representing the whole part of 𝑎−(𝑛−1)/2 . So for 𝑏𝑛 = 0 the chain fraction is [𝑎− 0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .] =(√5+1)/2 .
The authors declare that there are no conflicts of interest present.