профессор
professor,
Исследование арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций с рациональными параметрами часто проводится с помощью метода Зигеля.Этим методом были получены наиболее общие результаты, относящиеся к данной проблеме. Основной недостаток метода Зигеля (в его классической форме) состоит в невозможности применения этого метода к гипергеометрическим функциям с иррациональными параметрами. В этой ситуации исследование обычно основывается на эффективной конструкции функциональной приближающей формы (в методе Зигеля существование такой формы доказывается с помощью принципа Дирихле). Заметим еще, что построение приближающей формы является лишь первым шагом на пути к получению арифметического результата.Используя эффективный метод, мы сталкиваемся по крайней мере с двумя проблемами, которые в значительной степени сужают область его применимости. Во-первых, неизвестна более или менее общая конструкция эффективной приближающей формы для произведений гипергеометрических функций. По этой причине приходится рассматривать лишь вопросы линейной независимости над тем или иным алгебраическим полем. Выбор этого поля является второй проблемой. Подавляющее большинство опубликованных результатов, относящихся к рассматриваемому кругу задач, имеет дело с мнимым квадратичным полем (или с полем рациональных чисел). Лишь в отдельных случаях удается провести соответствующее исследование для какого-либо другого алгебраического поля.В данной работе рассматривается случай поля четвертой степени. С помощью специального технического приема устанавливается линейная независимость над таким полем значений некоторой гипергеометрической функции с иррациональным параметром из этого поля.
In order to investigate arithmetic properties of the values of generalized hypergeometric functions with rational parameters one often makes use of Siegel’s method. By means of this method have been achieved the most general results concerning this problem. Themain deficiency of Siegel’s method consists in the impossibility of its application in case of hypergeometric functions with irrational parameters. In this situation the investigation is usually based on the effective construction of the functional approximating form (in Siegel’s method the existence of such a form is proved by means of pigeon-hole principle). The construction and investigation of an approximating form is the first step to the achievement of arithmetic result.Applying effective method we encounter at least two problems which make considerably narrow the area of its employment. First, the more or less general effective construction of the approximating form for the products of hypergeometric functions is unknown. While usingSiegel’s method one doesn’t deal with such a problem. Hence the investigator is compelled to consider only questions of linear independence of the values of hypergeometric functions over some algebraic field. Choosing this field is the second problem. The great majority of published results concerning corresponding questions deals with imaginary quadratic field (or the field of rational numbers). Only in exceptional situations it is possible to investigate the case of some other algebraic field. We consider here the case of a field of the fourth degree. By means of a special technique weestablish linear independence over such a field of the values of some hypergeometric function with irrational parameter from that field.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.