доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В данной работе рассматривается первая специальная краевая задача механики неоднородного деформируемого твердого тела, когда определяющие соотношения, связывающиетензор напряжений с тензором деформаций, представляют собой нелинейный оператор оттензора деформаций. Вид определяющего оператора в неоднородном теле зависит от того в какой точке определяются напряжения. На границе тела, в каждой граничной точке, перемещения определяются как свертка произвольного постоянного симметричного тензора второго ранга с координатами этой точки. В нашем исследовании предполагается, что деформации, возникающие в теле от такого граничного воздействия, малы. Как следствие, среднее значение тензора деформаций в теле совпадает с постоянным тензором, определенным на границе, независимо от вида определяющих соотношений. Смещение точкивнутри тела представляется в виде суммы двух членов. Первый член - это свертка граничного тензора с координатами точки, а второй член - неизвестная векторная функция (структурная функция), которая зависит от координат точки и граничного тензора. Эта функция равна нулю на границе тела. Для структурной функции в общем случае получено нелинейное операторное дифференциальное уравнение. Для решения этого уравнения применяется метод последовательных приближений и находятся приближенные выражения для структурных функций, а через них деформации и напряжения в каждой точке тела.Затем напряжения усредняют по объему тела и сравнивают со средними деформациями, т.е. определяют вид эффективных определяющих соотношений, выражающих средние напряжения через средние деформации. Подробно рассматривается случай неоднородной потолщине, бесконечной в плане плиты.
In this paper we consider the first special boundary value problem in the mechanics of inhomogeneous deformable solids, when the defining relations connecting the stress tensor with the strain tensor are a nonlinear operator from the strain tensor. The type of the defining operator in an inhomogeneous body depends on at which point the stresses are determined. At the boundary of the body, at each boundary point, the displacements are defined as a convolutionof an arbitrary constant symmetric tensor of rank 2 with the coordinates of this point. In our study, it is assumed that the deformations, arising in the body from such a boundary action are small. As a consequence, the average value of the strain tensor in the body coincides with the constant tensor defined at the boundary, independently of type of the defining relations. Thedisplacement of a point inside the body is represented as a sum of two terms. The first term is the convolution of the boundary tensor with the point coordinates, and the second term is an unknown vector function (structural function) that depends on the coordinates of the point and the boundary tensor. This function is zero at the boundary of the body. A nonlinear operatordifferential equation is obtained for the structural function in the general case. To solve this equation, the method of successive approximations is applied and approximate expressions for the structural functions and, through them, the strains and stresses at each point of the body are found. Stresses are then averaged over the body volume and compared with average strains, i.e., the type of effective defining relations expressing average stresses through average strainsis determined. The case of an inhomogeneous in thickness, infinite in plan, plate is considered in detail.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.