chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-3-156-168cheb-1349Research ArticleСтатьиArticleРаспределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях с растущей разностьюDistribution of products of shifted primes in arithmetic progressions with increasing differenceРахмоновЗарулло ХусеновичRakhmonovZarullo Khusenovich

доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистана, директор Института математики им. А. Джураева

doctor of physical and mathematical sciences, professor,academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, director of the A. Dzhuraev Institute of Mathematics

zrahmonov@mitas.tjИнститут математики им. А. ДжураеваТаджикистанA. Dzhuraev Institute of MathematicsTajikistan202220122022233156168Copyright © Рахмонов З.Х., 20222022Рахмонов З.Х.Rakhmonov Z.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1349

Получена асимптотическая формула для количества простых чисел 𝑝6𝑥1, 𝑝2 6 𝑥2 таких, что 𝑝1(𝑝2 + 𝑎) ≡ 𝑙 (mod 𝑞), (𝑎𝑙, 𝑞) = 1, при 𝑞 6 𝑥^æ_0 , 𝑥1 > 𝑥1−𝛼, 𝑥2 > 𝑥𝛼,

$$æ0 =1/(2, 5 + 𝜃 + 𝜀), 𝛼 ∈[︂(𝜃 + 𝜀)ln 𝑞/ln 𝑥, 1 − 2, 5(ln 𝑞/ln 𝑥)]︂,$$

где 𝜃 = 1/2, если 𝑞 — свободное от кубов, 𝜃 = 5/6 в противном случае, являющимсяуточнением и обобщением известной формулы А.А.Карацубы.

We obtain an asymptotic formula for the number of primes 𝑝 ≤ 𝑥1, 𝑝 ≤ 𝑥2 such that𝑝1(𝑝2 + 𝑎) ≡ 𝑙 (mod 𝑞) with 𝑞 ≤ 𝑥æ0 , 𝑥1 ≥ 𝑥1−𝛼, 𝑥2 ≥ 𝑥𝛼, 

$$æ0 =1/(2, 5 + 𝜃 + 𝜀), 𝛼 ∈[︂(𝜃 + 𝜀)ln 𝑞/ln 𝑥, 1 − 2, 5(ln 𝑞/ln 𝑥)]︂,$$

where 𝜃 = 1/2, if 𝑞 is a cube free and 𝜃 = 56 otherwise. This is the refinement and generalizationof the well-known formula of A.A.Karatsuba.

характер Дирихлесдвинутые простые числакороткая сумма харак- теров с простыми числамиDirichlet charactershifted primesshort sum of characters with primesReferencesКарацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметическихKaratsuba A. A., 1970, “The distribution of products of shifted prime numbers in arithmeticпрогрессиях // Доклады АН СССР. 1970. Т. 192. Вып. 4. С. 724 — 727.progressions”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 192, Is. 4, pp. 724–727.Карацуба А.А. Арифметические проблемы теории характеров Дирихле // УМН. 2008.Karatsuba, A. A., 2008, “Arithmetic problems in the theory of Dirichlet characters”, RussianТ. 63. В. 4(382). С. 43 — 92.Mathematical Surveys, vol 63, Is. 4, pp. 641-690.Петечук М.М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с раз-Peteˇcuk M. M., 1980,“The sum of the values of the divisor function in arithmetic progressionsностью, равной степени нечётного простого числа // Известия АН СССР. Сер. матем.whose difference is a power of an odd prime”, Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol. 15, Is. 1,Т. 43. № 4. С. 892 – 908.pp. 145-160.Чубариков В.Н. Уточнение границы нулей 𝐿-рядов Дирихле по модулю, равному степениChubarikov V. N., 1973, “A more precise bound for the zeros of Dirichlet 𝐿-series modulo withпростого числа // Вестник МГУ. 1973. № 2.С. 46 -— 52.a power of prime”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 28, no 1-2, pp. 76–81.Friendlander J.B., Iwaniec H. The divisor problem for arithemetic progressions // Acta Arith.Friendlander J. B., & Iwaniec H., 1985, “The divisor problem for arithemetic progressions”, ActaV. 45,№ 3. P. 273-277. doi:10.4064/aa-45-3-273-277.Arith., vol. 45, Is. 3, pp. 273-277.Рахмонов З. Х. Распределение чисел Харди Литтвлуда в арифметических прогрессиях //Rakhmonov Z. Kh., 1990, “The distribution of Hardy–Littlewood numbers in arithmeticИзвестия АН СССР. Серия математическая. 1989. Т. 52, № 1. С. 211 – 224.progressions”, Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol. 34, Is. 1, pp. 213-228.Пан Чен Донг, Пан Чен Бьяо Основы аналитической теории чисел (на китайском языке).Pan Chengdong, & Pan Chengbiao, 1991,“Foundation to Analytic Number Theory”, ScienceПекин, 1991.Press, Beijing, 1991, (in Chinese).Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел — М.: изд-во Мир, 1974.Montgomery, H., 1971, Topics in Multiplicative Number Theory, vol. 227. Springer-Verlag,Vaughan R. Mean value theorems in prime number theory // J. London Math. Soc. (2).Berlin-New York.(1975), 153 – 162.Vaughan, R. O., 1975, “Mean value theorems in prime number theory”, J.London Math. Soc.,Рахмонов З.Х. Теорема о среднем значении 𝜓(𝑥, 𝜒) и ее приложения // Известия Россий-vol. s2-10, Is. 2, pp. 153-162, https://doi.org/10.1112/jlms/s2-10.2.153.ской Академии наук. Серия математическая. 1993. T. 57, № 4. С. 55 – 71.Rakhmonov, Z. Kh., 1994, “Theorem on the mean value of 𝜓(𝑥, 𝜒) and its applications”, RussianРахмонов З.Х. Средние значения функции Чебышёва // Доклады Российской АкадемииAcademy of Sciences. Izvestiya Mathematics, vol. 43, Is. 1, pp. 49–64.наук. 1993. T. 331. № 3. C. 281 – 282.Rakhmonov, Z. Kh., 1994, “Mean values of the Chebyshev function”, Russ. Acad. Sci., Dokl.,Рахмонов З. Х., Нозиров О.О. О средних значениях функций Чебышёва и их приложенияхMath., vol. 48, Is. 1, pp. 85-87.// Чебышёвский сборник. 2021. Т. 22. № 5(81). С. 198 – 222.Rakhmonov, Z. Kh., & Nozirov O. O., 2021, “On the mean values of the Chebyshev functionРахмонов З.Х. Теорема о среднем значении функций Чебышёва //Известия Российскойand their applications”, , Chebyshevskii Sbornik, vol. 22, no 5(81), pp. 198–222.Академии наук. Серия математическая. 1994. Т. 58. № 3. С. 1277 – 139.Rakhmonov, Z. Kh., 1995, “A mean-value theorem for Chebyshev functions”, Russian AcademyРахмонов З.Х. Теорема о среднем значении в теории простых чисел // Доклады Россий-of Sciences. Izvestiya Mathematics, vol. 44, Is. 3, pp. 555–569.ской Академии наук. 1996. Т. 349. № 5. С. 606 – 607.Rakhmonov, Z. Kh., 1996, “The mean-value theorem in prime number theory”, DokladyТимофеев H.M. Распределение арифметических функций в коротких интервалах в сред-Mathematics, vol. 54, Is. 1, pp. 597-598.нем по прогрессиям // Известия АН СССР. Сер. матем. 1987. Т. 51. № 2. С. 341 – 362.Timofeev, N. M., 1988, “Distribution in the mean of arithmetic functions in short intervals inВиноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида 𝑝 + 𝑘 по про-progressions”, Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol. 30, Is. 2, pp. 315–335.стому модулю // Математический сборник. 1938. Т. 3. № 45. С. 311 – 320.Vinogradov, I. M., 1938, “On the distribution of quadratic rests and non-rests of the form 𝑝+𝑘Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами // Известия АНto a prime modulus”, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., vol. 3(45), no 2, pp. 311–319.СССР. Сер. матем. 1943.Т. 7, С. 17 – 34.Vinogradov, I. M., 1943, “An improvement of the estimation of sums with primes”, Izv. Akad.Jutila M. On the least Goldbach’s number in an arithmetical progression with a prime differenceNauk SSSR. Ser. Mat., vol. 7, no 1, pp. 17–34.// Ann. Univ. Turku; Ser. A., I, 118 (1968).Jutila, M., 1968, “On the least Goldbach’s number in an arithmetical progression with a primeВиноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений 𝜒(𝑝+𝑘) // Известия АН СССР.difference”, Ann. Univ. Turku; Ser. A, I 118(5).Сер. матем. 1952. Т. 16. С. 197 – 210.Vinogradov, I. M., 1952, “New approach to the estimation of a sum of values of 𝜒(𝑝 + 𝑘)”,Виноградов И.М. Улучшение оценки для суммы значений 𝜒(𝑝+𝑘) // Известия АН СССР.Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 16, Is. 3, pp. 197–210.Сер. матем. 1953. Т. 17. С. 285 – 290.Vinogradov, I. M., 1953, “Improvement of an estimate for the sum of the values 𝜒(𝑝 + 𝑘)”, Izv.Линник Ю.В. Новейшие работы И. М. Виноградова // Тр. МИАН. 1973. Т. 132. С. 27 – 29.Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 17, Is. 4, pp. 285–290.Карацуба А.А. Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях // ДокладыLinnik, Yu. V., 1975, “Recent works of I.M. Vinogradov”, Proceedings of the Steklov Institute ofАН СССР. 1968. Т. 180. № 6. С. 1287 – 1289.Mathematics, vol. 132, pp. 25–28.Карацуба А.А. Об оценках сумм характеров // Известия АН СССР. Сер. матем. 1970.Karatsuba, A. A., 1968, “Sums of characters, and primitive roots, in finite fields”, Dokl. Akad.Т. 34. С. 20 – 30.Nauk SSSR, vol. 180, Is. 6. № 6, pp. 1287-1289.Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами // Известия АН СССР. Сер. матем.Karatsuba, A. A., 1970, “Estimates of character sums”, Math. USSR-Izv., vol. 4, Is. 1, pp. 19–29.Т. 34. С. 299 – 321.Karatsuba, A. A., 1970, “Sums of characters over prime number”, Math. USSR-Izv., vol. 4, Is. 2,Карацуба А.А. О суммах характеров с простыми числами // Доклады АН СССР. 1970.pp. 303–326.Т. 190. № 3. С. 517 – 518.Karatsuba, A. A., 1970, “Sums of characters with prime numbers”, Dokl. Akad. Nauk SSSR,Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле // УМН. 1986. Т. 41.№ 1.vol. 190, Is. 3, pp. 517–518.С. 201 – 202.Rakhmonov, Z. Kh., 1986, “On the distribution of values of Dirichlet characters”, Russian Math.Рахмонов З.Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами // ДАН ТаджикскийSurveys, vol. 41, Is. 1, pp/ 237–238. doi:10.1070/RM1986v041n01ABEH0032ССР. 1986. Т. 29. № 1. С. 16 – 20.Rakhmonov, Z. Kh., 1986, “Estimation of the sum of characters with primes”, Dokl. Akad. NaukРахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Тр.Tadzhik. SSR, vol. 29, Is. 1, pp. 16–20„ (in Russian).МИАН. 1994. Т. 207. С. 286 – 296.Rakhmonov, Z. Kh., 1995, “On the distribution of the values of Dirichlet characters and theirРахмонов З.Х. О наименьшем гольдбаховом числе в арифметической прогрессии // Из-applications”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, pp. 263–272.вестия АН Таджикский ССР. Отделение физико-математических и геолого-химическихRakhmonov, Z. Kh., 1986 “The least Goldbach number in an arithmetic progression”, Izv. Akad.наук. 1986. № 2. С. 103 – 106.Nauk Tadzhik. SSR. Otdel. Fiz.-Mat., Khim. i Geol. Nauk, № 2(100), pp. 103-106, (in Russian).Huxley M.N. On the difference between consecutive primes // Inventiones mathematicae JuneHuxley, M. N., 1971, “On the difference between consecutive primes”, Inventiones mathematicae,, Volume 15, Issue 2, pp 164–170.vol. 15, Is. 2, pp. 164–170.Фридландерa Дж.Б., Гонг K., Шпарлинский И.Е. Суммы значений характеров на сдвину-Fridlander, Dzh. B., & Gong, K., & Shparlinskii, I. E., 2010, “Character sums over shiftedтых простых числах // Матем. заметки. 2010. Т. 88. В. 4. С. 605 – 619.primes”, Math. Notes, vol. 88, Is. 3-4, pp. 585-598. doi:10.1134 S0001434610090312.Рахмонов З.Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдви-Rakhmonov, Z. Kh., 2013, “Distribution of values of Dirichlet characters in the sequence ofнутых простых чисел // Доклады АН Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. № 1. C. 5 – 9.shifted primes”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 56, № 1, pp. 5-9, (inРахмонов З.Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдви-Russian).нутых простых чисел // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Мате-Rakhmonov, Z. Kh., 2013, “Distribution of values of Dirichlet characters in the sequence ofматика. Механика. Информатика 2013. Т. 13. В. 4(2). С. 113 – 117.shifted primes”, Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., vol. 13, Is. 4(2), pp. 113-Рахмонов З.Х. Суммы характеров с простыми числами // Чебышёвский сборник. 2014., (in Russian).Т. 15. В. 2(50). С. 73 – 100.Rakhmonov, Z. Kh., 2014, “Sums of characters over prime numbers”, Chebyshevskii Sb., vol. 15,Керр Б. Оценки для сумм мультипликативных характеров по сдвинутым простым числамno 2, pp. 73-100, (in Russian).// Труды МИАН. 2021. Т. 314. С. 71 – 96.Kerr, B., 2021, “Bounds of Multiplicative Character Sums over Shifted Primes”, Proc. SteklovРахмонов З.Х. Суммы значений неглавных характеров по последовательности сдвинутыхInst. Math., vol. 314, pp. 64–89.простых чисел // Тр. МИАН. 2017. Т. 299. С. 1 – 27.Rakhmonov, Z. Kh., 2017, “Sums of values of nonprincipal characters over a sequence of shiftedРахмонов З.Х. Об оценке суммы значений неглавных характеров в последовательностиprimes”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 299, pp. 219–245.сдвинутых простых чисел // Доклады АН РТ. 2017. Т. 60. № 9. С. 378-382.Rakhmonov, Z. Kh., 2017, “On the estimation of the sum the values of Dirichlet characterRakhmonov Z.Kh. Sums of Values of Nonprincipal Characters over Shifted Primes. (2018) In:in a sequence of shifted primes”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 60, no 9,Pintz J., Rassias M. (eds) Irregularities in the Distribution of Prime Numbers. pp 187-217.pp. 378-382, (in Russian).Springer, Cham. First Online 05 July 2018, https://doi.org/10.1007/978-3-319-92777-0_10.Rakhmonov Z. Kh., 2018, “Sums of Values of Nonprincipal Characters over Shifted Primes”,In: Pintz J., Rassias M. (eds) Irregularities in the Distribution of Prime Numbers, SpringerIn: Pintz J., Rassias M. (eds) Irregularities in the Distribution of Prime Numbers, SpringerInternational Publishing, pp. 187-217.International Publishing, pp. 187-217.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.