аспирант
postgraduate student
Эта статья посвящена исследованию взаимосвязи между инвариантами Жордана — Кронекера и свободной порождённостью кольца Ad*-инвариантных полиномов алгебр Лиразмерности меньше или равной семи. На коалгебре алгебры Ли можно задать скобку Пуассона с постоянными коэффициентами, а также скобку Ли-Пуассона. Таким образом, любая пара элементов коалгебры Ли задаёт однопараметрическое семейство кососимметричных билинейных форм, называемое пучком. Для двух любых форм из пучка можно построить базис, в котором они одновременно примут блочно-диагональный вид с блоками двух типов. Этот вид называется разложением Жордана — Кронекера. При этом количество и размеры блоков будут одинаковыми для любой пары форм из пучка. Алгебраическим типом пучка называют количество и размеры блоков в разложении Жордана —Кронекера любой его пары. Почти все пучки одной алгебры Ли имеют одинаковый алгебраический тип, который является инвариантом Жордана — Кронекера данной алгебры Ли.Имеется теорема, которая утверждает, что для нильпотентной алгебры Ли существование двух кронекеровых пучков одного ранга, но различного алгебраического типа означает, что кольцо Ad*-инвариантных полиномов обязано быть несвободно порождённым. В данной работе рассмотрены все кронекеровы алгебры Ли (из известного списка семимерных нильпотентных алгебр Ли), для которых имеется возможность существования кронекеровых пучков того же ранга, что и ранг алгебры. В результате проверки был получен отрицательный ответ на вопрос о том, верно ли обратное утверждение к сформулированной теореме.
This article is concerned with the study of connections between the Jordan–Kronecker invariants and free generatedness of the ring of Ad*-invariant polynomials of Lie algebras of dimension less than or equal to seven. At the dual space of the Lie algebra it is possible to define the Poisson bracket with the constant coefficients and the Lie-Poisson bracket. Thus, any pair of points from this dual space defines an one-parameter family of skew-symmetric bilinear forms, called a pencil. For any two bilinear forms from the pencil there exists a basis, in whichtheir matrices can be simultaneously reduced to the block-diagonal form with the blocks of two types. This form is called the Jordan-Kronecker decomposition. At the same time, the number and sizes of blocks will be the same for any pair of bilinear forms from the pencil. The algebraic type of a pencil is the number and sizes of blocks in the Jordan-Kronecker decomposition of any pairs of bilinear forms from the pencil. Almost all pencils of the same Lie algebra have the same algebraic type, which is the Jordan-Kronecker invariant of a given Lie algebra. There is a theorem that states that for a nilpotent Lie algebra, the existence of two Kronecker pencils of the same rank but of different algebraic types means that the ring of Ad*-invariant polynomialsmust be non-freely generated. In this paper, we considered all Kronecker Lie algebras (from the certain list of 7-dimensional nilpotent Lie algebras) for which there was a possibility of the existence of a Kronecker pencils of the same rank as the rank of the algebra. As a result of the research, a negative answer was obtained to the question of whether the converse statement to the previous theorem is true.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.