кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В различных разделах современной математики и теоретической физики находят своеширокое применение геометрии постоянной кривизны. К числу таких геометрий относятся сферическая геометрия, геометрий Лобачевского, геометрия де Ситтера. 𝑛-мерные геометрии постоянной кривизны задаются метрическими функциями, которые являются инвариантами групп движений размерности 𝑛(𝑛+1)/2, поэтому они являются геометриямилокальной максимальной подвижности. В данной статье на примере геометрий постоянной кривизны решается задача вложения, суть которой состоит в нахождении (𝑛 + 1)-мерныхгеометрий локальной максимальной подвижности по 𝑛-мерным геометриям постоянной кривизны. Ищутся все функции пары точек вида 𝑓(𝐴,𝐵) = 𝜒(𝑔(𝐴,𝐵),𝑤𝐴,𝑤𝐵), задающие (𝑛+1)-мерные геометрии с группами движений размерности (𝑛+1)(𝑛+2)/2 по известнымметрическим функциям 𝑔(𝐴,𝐵) 𝑛-мерных геометрий постоянной кривизны. Эта задача сводится к решению функциональных уравнений специального вида в классе аналитических функций. Решение ищется в виде рядов Тейлора. Для упрощения анализа коэффициентов применяется пакет математических программ Maple 17. Результатами такого вложения 𝑛-мерных геометрий постоянной кривизны являются (𝑛 + 1)-мерные расширения евклидовых и псевдоевклидовых 𝑛-мерных пространств. Кроме основной теоремы, доказываются вспомогательные утверждения, имеющие самостоятельное значение.
In various sections of modern mathematics and theoretical physics find their wide application of geometry of constant curvature. These geometries include spherical geometry, Lobachevsky geometry, de Sitter geometry. 𝑛-dimensional geometries of constant curvature are defined by metric functions that are invariants of motion groups of dimension 𝑛(𝑛+1)/2, therefore they are geometries of local maximum mobility. In this article, by the example of geometries of constantcurvature, the embedding problem is solved, the essence of which is to find (𝑛+1) -dimensional geometries of local maximum mobility from 𝑛-dimensional geometries of constant curvature. We search for all functions of a pair of points of the form 𝑓(𝐴,𝐵) = 𝜒(𝑔(𝐴,𝐵),𝑤𝐴,𝑤𝐵) that define (𝑛 + 1)-dimensional geometries with motion groups of dimension (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)/2 by the wellknown metric functions of 𝑔(𝐴,𝐵) 𝑛-dimensional geometries of constant curvature. This problemreduces to solving functional equations of a special form in the class of analytic functions. The solution is sought in the form of Taylor series. To simplify the analysis of coefficients, the Maple 17 mathematical program package is used. The results of this embedding of 𝑛-dimensional geometries of constant curvature are (𝑛 + 1)-dimensional extensions of Euclidean and pseudo-Euclidean 𝑛-dimensional spaces. In addition to the main theorem, auxiliary statements of independent significance are proved.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.