доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
В статье автор продолжает рассматривать вопросы, связанные с проблемой свободы в группах Артина с древесной структурой и опубликованные совместно с В. Н. Безверхним в Чебышевском сборнике в 2014 году. В частности, доказывается следующая теорема о подгруппах для групп Артина с древесной структурой: если 𝐻 – конечно порожденная подгруппа группы Артина с древесной структурой, причем пересечение 𝐻 с любойподгруппой, сопряженной циклической подгруппе. порожденной образующим элементом группы, есть единичная подгруппа, то существует алгоритм, описывающий процесс построения свободных подгрупп в 𝐻.Изучением свободных подгрупп в различных классах групп занимались многие выдающиеся математики, основополагающие результаты изложены в ряде учебников по теории групп, монографиях и статьях.Группы Артина активно изучаются с начала прошлого века. Если группе Артина соответствует конечный дерево-граф такой, что его вершинам соответствуют образующие группы, а всякому ребру, соединяющему вершины, соответствует определяющее соотношение, связывающее соответствующие образующие, то мы имеем группу Артина с древесной структурой.Группу Артина с древесной структурой можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам.В процессе доказательства основного результата использовались: приведение множества образующих к специальному множеству, введенному В. Н. Безверхним как обобщение нильсеновского множества на свободные произведения групп с объединением, а также представление подгруппы в виде свободного произведения групп и задание группы с помощью графа.
In the article, the author continues to consider issues related to the problem of freedom in Artin groups with a woody structure, and published jointly with V. N. Bezverkhnim in the Chebyshev Collection in 2014. In particular, the following subgroup theorem is proved for Artin groups with a tree structure: if 𝐻 is a finitely generated subgroup of the Artin group with a tree structure, and the intersection of 𝐻 with any subgroup conjugate to a cyclic subgroup.generated by the generating element of the group, there is a unit subgroup, then there is an algorithm describing the process of constructing free subgroups in 𝐻.The study of free subgroups in various classes of groups was carried out by many outstanding mathematicians, the fundamental results are presented in a number of textbooks on group theory, monographs and articles.Artin’s groups have been actively studied since the beginning of the last century. If the Artin group corresponds to a finite tree graph such that its vertices correspond to generating groups, and every edge connecting the vertices corresponds to a defining relation connectingthe corresponding generators, then we have an Artin group with a tree structure.An Artin group with a woody structure can be represented as a tree product of twogenerators Artin groups united by infinite cyclic subgroups.In the process of proving the main result, the following methods were used: the reduction of the set of generators to a special set introduced by V. N. Bezverkhnim as a generalization of the Nielsen set to amalgamated products of groups, as well as the representation of a subgroup as a free product of groups and the assignment of a group using a graph.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.