кандидат физико-математических наук
candidate of candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
профессор, доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences, professor
профессор, доктор физико-математических наук
professor, doctor of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
В работе изучаются алгебраические структуры, возникающие относительно операции умножения двух множеств натуральных чисел. Основными объектами изучения выступают моноид MN моноидов натуральных чисел и моноид SN произведений произвольных подмножеств натурального ряда. Также моноидом будет SN* = SN ∖ {∅}.Важным свойством этих моноидов является тот факт, что множество всех идемпотентов в моноиде SN, кроме нулевого элемента, совпадает с множеством идемпотентов моноида SN* и образует моноид MN.Наличие такого факта позволило рассмотреть порядок. Относительно порядка 𝐴 6 𝐵 и бинарных операций inf, sup моноид MN является не модулярной, полной А-решёткой.В работе различаются понятия А-решётки как объекта общей алгебры и Т-решётки как объекта теории чисел и геометрии чисел.В работе определена структура полного метрического пространства с неархимедовой метрикой на моноиде SN. Это позволило доказать теорему о сходимости последовательно-сти рядов Дирихле по сходящимся последовательностям натуральных чисел.Если рассмотреть произведение двух дзета-функций моноидов натуральных чисел, то оно будет дзета-функцией моноида натуральных чисел только тогда, когда эти моноиды взаимно просты. В общем случае их произведение будет рядом Дирихле с натуральными коэффициентами по моноиду, равному произведению моноидов сомножителей. Этот моноид, порожденный дзета-функциями моноидов натуральных чисел, обозначается через MD. Показано что моноиды MN и MD неизоморфны.В работе определены две малые категории ℳ𝒩 и 𝒮𝒩 и изучены некоторые их свойства.
The paper studies algebraic structures arising with respect to the multiplication operationof two sets of natural numbers. The main objects of study are the monoid MN of monoids of natural numbers and the monoid SN of products of arbitrary subsets of a natural series. Also, the monoid will be SN* = SN ∖ {∅}.An important property of these monoids is the fact that the set of all idempotents in the monoid SN except for the zero element coincides with the set of idempotents of the monoid SN* forms the monoid MN.The presence of such a fact allowed us to consider the order. With respect to the order of 𝐴 6 𝐵 and binary operations inf, sup the monoid MN is an irregular, complete A-lattice.The paper distinguishes the concepts of A-lattice as an object of general algebra and Tlattice as an object of number theory and geometry of numbers.The paper defines the structure of a complete metric space with a non-Archimedean metric on the monoid SN. This made it possible to prove a theorem on the convergence of a sequence of Dirichlet series over convergent sequences of natural numbers.If we consider the product of two zeta functions of monoids of natural numbers, then it will be a zeta function of a monoid of natural numbers only when these monoids are mutually simple.In general, their product will be a Dirichlet series with natural coefficients over a monoid equal to the product of the monoids of the cofactors. This monoid generated by the zeta functions ofthe monoids of natural numbers is denoted by MD. It is shown that the monoids MN and MD are non-isomorphic.The paper defines two small categories ℳ𝒩 and 𝒮𝒩 and studies some of their properties.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.