Теория рекуррентных соотношений являются важной составной частью современной математической науки. Множество числовых последовательностей имеют рекуррентную природу. Часто они естественным образом связаны с теорией чисел (числа Фибоначчи, фигурные числа, числа Мерсенна и Ферма, дружественные числа и др.) или имеют комбинаторные “корни” (элементы треугольника Паскаля, числа Стирлинга, числа Белла, числа Каталана и др.). Применяемые для исследования рекуррентных последовательностей производящие функции подробно изучаются в математическом анализе, предоставляя широкий спектр практико-ориентированных примеров использования классических аналитических построений. Рекурсивные функции играют важную роль в теории алгоритмов.Приложения теории рекуррентных соотношений крайне востребованы в криптографии (генерация псевдослучайных последовательностей над конечными полями), цифровой об-работке сигналов (моделирование обратной связи в системе, где выходные данные одновременно становятся входными для будущего времени), экономике (модели различных секторов экономики – финансового, товарного и др., в которых текущие значения ключевых переменных (процентная ставка, реальный ВВП и т.д.) анализируются с точки зрения прошлых и текущих значений других переменных), биологии (например, модели динамики роста той или иной популяции; вспомним числа Фибоначчи) и др.Мы рассматриваем несколько аспектов указанной тематики, в том числе:- историю вопроса, место числовых рекуррентных последовательностей в развитии математической науки и математического образования;- примеры использования рекуррентного подхода при построении различных классов (и подклассов) специальных чисел (фигурных чисел, дружественных чисел и др.);- теоретические аспекты использования последовательностей больших периодов над конечными полями в радиолокации и методы генерации псевдослучайных последовательностей для обеспечения криптографической защиты информации, передаваемой на большие расстояния.В частности, в работе представлена рекуррентная схема построения так называемых центрированных 𝑘-пирамидальных чисел 𝐶𝑆3𝑘(𝑛), 𝑛 = 1, 2, 3, . . ., которые представляют собой конфигурации точек, образующих 𝑘-угольную пирамиду, в основании которой лежит центрированное 𝑘-угольное число 𝐶𝑆𝑘(𝑛).Исходя из определения, мы получаем для последовательности 𝐶𝑆3𝑘(𝑛), 𝑛 = 1, 2, 3, . . ., рекуррентную формулу 𝐶𝑆3𝑘(𝑛 + 1) = 𝐶𝑆3𝑘(𝑛) + 𝐶𝑆𝑘(𝑛 + 1), 𝐶𝑆3𝑘(1) = 1. Учитывая, что 𝐶𝑆𝑘(𝑛 + 1) = (𝑘𝑛^2+𝑘𝑛+2)/2, и пользуясь стандартными подходами, мы доказываем,что производящая функция 𝑓(𝑥) последовательности 𝐶𝑆3𝑘(𝑛), 𝑛 = 1, 2, 3, . . ., имеет вид 𝑓(𝑥) = 𝑥(1+(𝑘−2)𝑥+𝑥2)/(1−𝑥)2 , |𝑥| < 1, в то время как явная формула для 𝐶𝑆3𝑘(𝑛) имеет вид𝐶𝑆3𝑘(𝑛) = 𝑘𝑛3+𝑛(6−𝑘)/6 .