chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-3-50-60cheb-1342Research ArticleСтатьиArticleО разложении действительных чисел по некоторым последовательностямOn an expansion real numbers on some sequencesГиясиАзарGiyasiAzar

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

azarghyasi@atu.ac.irМихайловИлья ПетровичMikhailovIlya PetrovichЧубариковВладимир НиколавичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор

Lomonosov Moscow State University

chubarik2020@mail.ruУниверситет имени Алламе ТабатабаиИранAllameh Tabataba’i UniversityIslamic Republic of IranКазанский авиационный институтРоссияKazan Aviation InstituteRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияdoctor of physical and mathematical sciences, professorRussian Federation2022191220222335060Copyright © Гияси А., Михайлов И.П., Чубариков В.Н., 20222022Гияси А., Михайлов И.П., Чубариков В.Н.Giyasi A., Mikhailov I.P., Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1342

В работе доказаны теоремы о разложении действительных чисел по мультипликативной системе чисел, по последовательности Фибоначчи и по целочисленной последовательности, удовлетворяющей рекуррентным соотношениям и связанной с числами Пизо–Виджаярагхавана. Особое внимание обращено на “явные формулы” и условия единственности таких представлений. Отметим, что единственность разложения действительногочисла по обратным значениям мультипликативной системы позволяет получить оценку вида$$𝑒 −Σ︁𝑛𝑘=0 1/𝑘!=𝑥𝑛/𝑛!, 1/𝑛 + 1≤ 𝑥𝑛 <1/𝑛.$$Разложения чисел по последовательности обратных чисел Фибоначчи существенно использует их представление через степени “золотого сечения” 𝜙 = (1+√5)/2 .Системы чисел, связанные с числами Пизо-Виджаярагхавана рассмотрены менее подробно, поскольку требуется конкретизировать свойства рассматриваемых чисел.

In this paper theorems on the expression of real numbers on multiplicative number system, Fibonacci sequence and integral valued sequences satisfiing recurrent correlations and connectedwith Pisot–Vidgajraghavan, are proven. It pay a special attention to “explicit formulas” and conditions of the uniqueness of such representations. We note that unifiing of an expression ofa real number over inverse values of a multiplicaticative system permits to get the estimation of the form

$$𝑒 −Σ︁𝑛𝑘=0 1/𝑘!=𝑥𝑛/𝑛!, 1/𝑛 + 1≤ 𝑥𝑛 <1/𝑛.$$

Expressions of numbers over the sequence of inverse of Fibonacci numbers essentially uses these representation throw powers of “the gold section” 𝜙 = (1+√5)/2 .Systems numbers connected with Pisot–Vidgajraghavana were considered less than in details, as demands to make a properties of examinated numbers more concrete.

мультипликативная система чиселпоследовательность Фибоначчи.ReferencesHardy G. H., Littlewood J. E. The fractional part of 𝑛𝑘𝜃.// Acta math., 1914, 37.Hardy G. H., Littlewood J. E. (1914).The fractional part of 𝑛𝑘𝜃.// Acta math., 37.Borel E. Les probabilit´es d´enombarables et leurs applications arithm´etiques.// Rend CircoloBorel E. (1909). Les probabilit´es d´enombarables et leurs applications arithm´etiques.// Rendmath. Palermo, 1909, 27.Circolo math. Palermo, 27.Гельфонд А. О. Об одном общем свойстве систем счисления// Изв. АН СССР, сер. матемGel’fond A. O. (1959). On one general property of numerical system// Izv. AN SSSR, Ser.(in Russian). 1959, 23 (Избр.тр. с.366-371).math. (in Russian). 23 (Selected works. p.366-371).Zeckendorf E. Repr´sentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ouZeckendorf E. (1972). Repr´sentation des nombres naturels par une somme de nombres dede nombres de Lucas// Bull. Soc. R. Sci. Li`ege (in French). 1972, 41, p. 179-182.Fibonacci ou de nombres de Lucas// Bull. Soc. R. Sci. Li`ege (in French). 41, p. 179-182.Dickson L. E. History of the theory of numbers. — Carnegie Inst. of Washigton. 1919. Ch.17.Dickson L. E. (1919). History of the theory of numbers. — Carnegie Inst. of Washigton. Ch.17.Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. —Arkhipov G. I., Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N. (2006).Lectures on mathematical analysis.М.: Дрофа. 2006. 640 с.— M.: Drofa. Pp. 640.Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр.Cassels J. W. S. (1961). An introduction to Diophantine approximation. — Cambridge Universityлит-ры. 1961. 212 с.Press. Pp.212.Холл М. Комбинаторика. — М.: Изд-во “Мир”. 1970. 424 с.Hall M.,Jr. (1970). Combinatorial theory. — Waltham (Massachusetts)-Toronto-London: BlaisdellБернулли Д.// Comment. Acad.Sci. Petrop., 1728, 3, p. 85–100.Publ. Comp. Pp. 424.Кнут Д. Э. Искусство программирования, т.1. Основные алгоритмы, 3-е изд. Уч. пособие. —Bernoulli D. (1728). Combinatorial theory.// Comment. Acad.Sci. Petrop., 3, p. 85–100.М.: Изд. дом “Вильямс”. 2000. 720 с.Knuth D. E. (1998). The art computer programming. Fundamental algorithms. Third Ed. —de Moivre A.// Philos. Trans., 1922, 32, p. 162–178.Reading, Massachusetts-Harlow, England-Menlo Park, California-Berkley, california-Lon Mills,Чебышев П. Л. Теория вероятностей. — Изд-во АН СССР. 1936, S23. c.143–147.Ontario-Sidney-Bonn-Amsterdam-Tokyo-Mexico City: AddisonWesley Longman, Inc.. Pp. 720.Ландау Э. Основы анализа. — М.: ИЛ, 1947.de Moivre A. (1922). // Philos. Trans., 32, p. 162–178.Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и при-ChebyshevP. L. (1936). The theory of probabilities. — AN SSSR. S23. 143–147. (in Russian).ложения. — М.: Наука, 1987, 344 с.Landau E. (1947). Fundamentals of analysis. — M.: Inostr.literature.(in Russian).Минеев М. П., Чубариков В. Н. Лекции по арифметическим вопросам криптографии. — М.:Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. (1987). Series and the Uolsh’s transformations: theООО“Луч”, 2014, 224 с.theory and applications. — M.: Nauka, pp. 344.(in Russian).Ghyasi А. H. A generalization of the Gel’fond theorem concerning number systems// RussianMineev M.P., Chubarikov V. N. (2014). Lectures on arithmetical questions of cryptography. —Journal of Mathematical Physics. 2007, 14, No.3, p.370.M.: OOO“Luch”, pp. 224. (in Russian).Ghyasi А. H. (2007). A generalization of the Gel’fond theorem concerning number systems//Ghyasi А. H. (2007). A generalization of the Gel’fond theorem concerning number systems//Russian Journal of Mathematical Physics. 14, No.3, p.370.Russian Journal of Mathematical Physics. 14, No.3, p.370.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.