chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-3-5-18cheb-1339Research ArticleСтатьиArticleМетрический сегмент в классе Громова — ХаусдорфаMetric Segments in Gromov–Hausdorff classБорисоваОльга БорисовнаBorisovaOlga Borisovnaolyaboricova@gmail.comМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202219122022233518Copyright © Борисова О.Б., 20222022Борисова О.Б.Borisova O.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1339

В этой статье изучаются свойства метрического сегмента в классе всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, с расстоянием Громова — Хаусдорфа. При ограничении на компактные метрические пространства, расстояние Громова — Хаусдорфа становится метрикой. Метрическим сегментом называется класс точек, лежащих между двумя данными. По аксиоматике теории множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NGB) собственный класс — это такое «огромное семейство», эквивалентное классу всех множеств, которое уже само множеством не является. В этой статье показано, что любой метрический сегмент в классе Громова — Хаусдорфа, при условии, что существуетхотя бы одно метрическое пространство, лежащее на ненулевых расстояниях до концевых точек сегмента, является собственным классом. А сегмент, у которого расстояние между концевыми точками равно нулю — множество. Также доказано, что при ограничении на компактные метрические пространства невырожденный метрический сегмент не являетсякомпактным множеством.

We study properties of metric segments in the class of all metric spaces considered up to an isometry, endowed with Gromov–Hausdorff distance. On the isometry classes of all compactmetric spaces, the Gromov-Hausdorff distance is a metric. A metric segment is a class that consists of points lying between two given ones. By von Neumann–Bernays–G¨odel (NBG) axiomatic set theory, a proper class is a “monster collection”, e.g., the collection of all sets.We prove that any metric segment in the proper class of isometry classes of all metric spaces with the Gromov-Hausdorff distance is a proper class if the segment contains at least one metricspace at positive distances from the segment endpoints. If the distance between the segment endpoints is zero, then the metric segment is a set. In addition, we show that the restriction ofa non-degenerated metric segment to compact metric spaces is a non-compact set.

Расстояние Громова — Хаусдорфакласс всех метрических про- странстваксиоматика фон-Неймана — Бернайса — Гёделяметрический сегментком- пактность.Gromov–Hausdorff distanceclass of all metric spacesvon Neumann–Bernays– G¨odel axiomsmetric segmentcompact set.Исследование выполнено за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект №19- 01-00775а) и стипендии Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС» (грант №20-8-2-8-1).The study was performed under the support of the Russian Foundation for Basic Research (project №19-01- 00775а) and the scholarship of the Theoretical Physics and Mathematics Advancement Foundation «BASIS» (grant №20-8-2-8-1).ReferencesHausdorff F. Grundz¨uge der Mengenlehre. Leipzig: Veit, 1914 [reprinted by Chelsea in 1949].Hausdorff, F. 1914, Grundz¨uge der Mengenlehre, Veit, Leipzig [reprinted by Chelsea in 1949].Gromov M. Groups of Polynomial growth and Expanding Maps. // В сборнике: PublicationsGromov, M. 1981, “Groups of Polynomial growth and Expanding Map”, In: PublicationsMathematiques Paris: I.H.E.S., Vol. 53, 1981.Mathematiques, I.H.E.S., Paris, Vol. 53.Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. Москва – Ижевск:Burago, D. Yu., Burago, Yu. D. & Ivanov, S. V., 2001, A Course in Metric Geometry, AmericanИзд-во Института компьютерных исследований, 2004. — 496 с.Mathematical Society, Providence, RI.Edwards D. The Structure of Superspace. // В сборнике: Studies in Topology, ed. by StavrakasEdwards, D. 1975, “The Structure of Superspace”, In: Studies in Topology, ed. by Stavrakas, N.N. M. and Allen K. R., New York London San Francisco: Academic Press, Inc., 1975.M. and Allen, K. R., Academic Press, Inc. New York, London, San Francisco.Tuzhilin A. A. Who Invented the Gromov–Hausdorff Distance? // ArXiv e-prints. 2017.Tuzhilin, A. A. 2017, “Who Invented the Gromov–Hausdorff Distance?”, ArXiv e-prints,arXiv:1612.00728.arXiv:1612.00728.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. / Мендельсон Э.; пер. с англ. Ф.А.Mendelson, E. 1979, Introduction to mathematical logic. D. Van Nostrand company, INC.Кабакова под ред. С.И. Адяна. 2-ое из., исправленное. Москва, из. «Наука» гл. ред. физ-Princeton, New Jersey.мат. лит., 1976. — 320 с.Ivanov, A. O. & Tuzhilin, A. A., 2017, Geometry of Hausdorff and Gromov–Hausdorff distances,Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова — Хаусдорфа:the case of compact spaces, Izd-vo Popech. Soveta Mech.-Mat. Facult. MGU, Moscow [inслучай компактов. М.: Изд-во Попечительского совета мех-мат ф-та МГУ, 2017. — 111 с.Russian].Иванов А. О., Николаева Н. К., Тужилин А. А. Метрика Громова — Хаусдорфа на про-Ivanov, A. O., Nikolaeva, N. K. & Tuzhilin, A. A. 2016, “The Gromov–Hausdorff Metric on theстранстве метрических компактов — строго внутренняя. // Матем. заметки. 2016. Т. 100,Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsi”, Mathematical Notes, vol. 100, no. 6, pp.№ 6. C. 947–950 (arXiv:1504.03830).–173.Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A.A., Realizations of Gromov–Hausdorff Distance. // ArXivIliadis, S. D., Ivanov, A. O. & Tuzhilin A. A. 2016, “Realizations of Gromov–Hausdorff Distanc”,e-prints, 2016. arXiv:1603.08850.ArXiv e-prints, arXiv:1603.08850.Ivanov A. O., Tuzhilin A. A., Hausdorff realization of linear geodesics of Gromov–HausdorffIvanov, A. O., Tuzhilin, A. A. 2019,“Hausdorff realization of linear geodesics of Gromov–space. // ArXiv e-prints. 2019. arXiv: 1904.09281.Hausdorff spac”, ArXiv e-prints, arXiv: 1904.09281.Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Isometry group of Gromov–Hausdorff space. // MatematickiIvanov, A. O. & Tuzhilin, A. A. 2019, “Isometry group of Gromov–Hausdorff space”, MatematickiVesnik. 2019. Vol. 71, № 1–2. P. 123–154.Vesnik, vol. 71, no. 1–2, pp. 123–154.Memoli F. On the Use of Gromov–Hausdorff Distances for Shape Comparison. // В сборнике:Memoli, F. 2007, “On the Use of Gromov–Hausdorff Distances for Shape Comparison”, In:Proceedings of Point Based Graphics 2007, Ed. by Botsch M., Pajarola R., Chen B., and ZwickerProceedings of Point Based Graphics 2007, Ed. by Botsch M., Pajarola R., Chen B., and ZwickerM., The Eurographics Association, Prague, 2007, pp. 81–90.M., The Eurographics Association, Prague, 2007, pp. 81–90.Клибус Д.П. Курсовая работа. Компактная выпуклость шаров в пространстве Громова —Klibus, D.P., 2018, Сoursework. Compact convexity of balls in the Gromov-Hausdorff space.Хаусдорфа. [Электронный ресурс]. / Сайт кафедры дифф.геом. и прилож. мех-мата МГУ:Available at: http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2018-kr5-klibus.pdf.Москва: 2018. — Режим доступа: http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2018-kr5-klibus.John L. Kelley. 1955, General topology. D. van Nostrand Company, Inc., New York, Toronto,pdf, свободный.and London.John L. Kelley. General topology. / D. van Nostrand Company, Inc., New York, Toronto, andEngelking, R. 1977, General topology. Pa´nstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. ManuscriptLondon, 1955.of second edition, 1985.Энгелькинг Р. Общая топология. / пер. с англ. М. Я. Антоновского и А.В. Архангельского.Энгелькинг Р. Общая топология. / пер. с англ. М. Я. Антоновского и А.В. Архангельского.Москва: Мир, 1986. — 752 c.Москва: Мир, 1986. — 752 c.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.