chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-2-74-87cheb-1271Research ArticleСтатьиArticleМоделирование минимальных параметрических сетей в евклидовых пространствах с помощью шарнирных механизмовModeling of minimal parametrical networks in euclidean spaces by means of linkagesЖитнаяМарина ЮрьевнаZhitnayaMarina Yur’evna

аспирант

postgraduate student

g-ferra@mail.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UnivercityRussian Federation2022070720222327487Copyright © Житная М.Ю., 20222022Житная М.Ю.Zhitnaya M.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1271

Шарнирные механизмы можно представить как конструкции, состоящие из твёрдых тел, например, стержней, некоторые пары из которых шарнирно скреплены друг с другом, то есть имеют общую точку, вокруг которой могут свободно варащаться. Широкое распространение шарнирные механизмы получили вместе с развитием приборостроения.Одной из важных первых задач было конструирование механизма, в котором один из шарниров двигался бы по отрезку прямой. Эта задача получила несколько решений, некоторые из которых были предложены Поселье, Липкиным, Уаттом, Гартом. После того, как стало понятно, как с помощью шарнирных механизмов нарисовать отрезок, следующим большим вопросом стало описание всех возможных кривых, которые могут быть траекто-риями одного из шарниров механизма. Решением этой задачи стала теорема Кинга, которая говорит, что множество рисуемо тогда и только тогда, кода оно либо всё объемлющее пространство, либо полуалгебраический компакт [16], [17].Вопросы, которые рассматриваются автором данной статьи, продолжают изучение работы шарнирных механизмов и исследуют возможности их применения для решения задачоптимизации, например, поиска кратчайшей сети, соединяющей набор точек в евклидовом пространстве. Основной результат данной работы описывает построение механизма, который строит минимальную параметрическую сеть в евклидовом пространстве размерности 𝑑 > 2. В предыдущей работе автора [7] приведено доказательство существования шарнирного механизма, который строит минимальную сеть Штейнера, а также предложен вариант сборки такого механизма. Так как основной задачей было доказательство существования такого механизма, без его минимизации, описанный способ сборки заведомоможно оптимизировать, что позволяют сделать результаты, полученные в данной работе.

Linkages can be represented as devices consisting of solid bodies, for example, rods, some pairs of which are connected to each other by hinges, in other words they have a common pointaround which they can freely rotate. Linkages became widespread along with the development of instrumentation. One of the important first problems was to design a mechanism in which one of the hinges would move along a straight line segment. This issue has received several solutions, some of which were proposed by Peaucellier, Lipkin, Watt, Garth. After it becameclear how to draw a segment, the next big problem was to describe all possible curves that could be the trajectories of one of the hinges of a linkage. The solution to this problem was King’s theorem, which says that a set can be drawn if and only if it is either an ambient space or a semi-algebraic compact [16], [17].The issues investigated by the author of this paper continue the exploration of previous tasks related to linkages, since they consider the possibilities of solving optimization problemsusing linkages, for example, finding the shortest network connecting a set of points in Euclidean space. The main result of this work describes the construction of a mechanism that builds aminimal parametric network in a Euclidean space of dimension 𝑑 > 2. In the author’s previous work, a proof of the existence of a linkages that builds a minimal Steiner network is given, anda variant of constructing such a mechanism is also proposed. Since the main task was to prove the existence of such a mechanism, without minimizing it. The described assembly method can obviously be optimized and the results obtained in this work allows us to do that.

Проблема Штейнераминимальные параметрические сетишарнир- ный механизмлокально минимальное дерево.Steiner problemminimal parametrical networklinkagelocally minimal network.ReferencesСосинский А.Б. Двумерные поверхности и конфигурационные пространства шарнирныхSosinsky A.B., 2007, “Two-dimensional surfaces and configuration spaces of articulated mechanisms. Lecture one”, Summer school “Modern mathematics”, Dubna, Russia, Available at: URL:http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=130.механизмов. Лекция первая [Электронный ресурс] / Сосинский А.Б. – Дубна: Летняя школа «Современная математика», 2007. – Режим доступа: URL:http://www.mathnet.ru/Sosinsky A.B., 2007, “Two-dimensional surfaces and configuration spaces of articulated mechanisms. Lecture two”, Summer school “Modern mathematics”, Dubna, Russia, Available at: URL:http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=131&option_lang=rus.php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=130Chebishev linkages, 2009-2021, Available at: URL: https://tcheb.ru/.Сосинский А.Б. Двумерные поверхности и конфигурационные пространства шарнирныхKovalev M.D., 2019, Geometricheskie voprosi kinematiki i statiki [Geometrical issues of kinematics and statics], URSS Leland, Russia.механизмов. Лекция вторая [Электронный ресурс] / Сосинский А.Б. – Дубна: Летняя школа «Современная математика», 2007. – Режим доступа: URL:http://www.mathnet.ru/Kovalev M.D., 2020, Chto takoe sharnirniy mehanizm? I chto zhe dokazal Kempe? [What is a hinge mechanism? And what did Kempe prove? ], URSS Leland, Russia.php/presentation.phtml?presentid=131&option_lang=rusOshemkov A.A., Popelenskiy F.Y., Tuzhilin A.A., Fomenko A.T., Shafarevich A.I. 2014 Kurs naglyadnoy geometrii i tipologii [The course of visual geometry and topology], URSS, Russia.Механизмы П.Л. Чебышева [Электронный ресурс] / Российский институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук 2009-2021. – Режим доступа: URL: https://tcheb.ru/Zhitnaya M.Y. 2019, “Modeling of optimal networks by means of linkages” Fundam. Prikl. Mat., Vol. 22, Issue 6, 95–122.Ковалёв М.Д. Геометрические вопросы кинематики и статики / Ковалёв М.Д. — Москва: URSS Ленанд, 2019Tuzhilin A.A., Fomenko A.T. 1986, Mnogoznachnie otobrazheniya, minimal’nie poverhnosti i milnie plenki [Multivalued mappings, minimal surfaces, and soap films], Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., №3, 3–12.Ковалёв М.Д. Что такое шарнирный механизм? И что же доказал Кемпе? / Ковалёв М. Д. // Итоги науки и техники, серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры — 2020. — том 179. — с. 16-28.Hwang F.K. 1986, “Linear time algorithm for full steiner trees”, Operations Research Letters, Vol. 4, Issue 5, 235-237.Ошемков А.А., Попеленский Ф.Ю., Тужилин А.А., Фоменко А.Т., Шафаревич А.И. Курс наглядной геометрии и топологии. — Москва: УРСС, 2014. — 360 с.Melzak Z.A., 1961, “On the problem of Steiner”, Canadian Mathematical Bulletin, Vol 4(2), 143-148.Житная М.Ю. Моделирование оптимальных сетей с помощью шарнирных механизмов / Житная М.Ю. // Фундамент. и прикл. матем., 2019, том 22, выпуск 6, с. 95-122.Kempe A.B., 1871, How to draw a straight line: a lecture on linkages, Macmillan & Co.Тужилин А.А., Фоменко А.Т. Многозначные отображения, минимальные поверхности и мыльные пленки / Тужилин А.А., Фоменко А.Т. // Вестн. Моск. ун-та. — 1986, номер 3,Kapovich M., Millson J.J. “Universality theorems for configurations of planar linkages”, Topology, Vol. 41(2002), №6, 1051-1107.с. 3-12Ivanov A.O., Tuzhilin A.A., 1994, Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations, USA: CRC Press.Hwang F.K. Linear time algorithm for full steiner trees / Hwang F.K. // Operations Research Letters. — 1986. — Volume 4, Issue 5. — P. 235-237.Gilbert E.N., Pollak H.O., 1968, “Steiner Minimal Trees”, SIAM J. Appl. Math., Vol.16, №1, 1-29.Melzak Z.A. On the problem of Steiner / Melzak Z.A. // Canadian Mathematical Bulletin. — 1961. — 4(2). — P. 143-148.Abbott T.G., 2008, Generalizations of Kempe’s Universality Theorem, Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology.Kempe A.B. How to draw a straight line: a lecture on linkages. / Kempe A.B. — Macmillan & Co. — 1871. — 51 P.King H. Semiconfiguration spaces of planar linkages, Available at: URL: https://arxiv.org/abs/math/9810130.Kapovich M., Millson J.J. Universality theorems for configurations of planar linkages. / Kapovich M., Millson J.J. // Topology. — 2002, v. 41(2002), №6, P. 1051-1107.H. King., Configuration spaces of linkages in R𝑛, Available at: URL: arXiv.org:math/9811138.Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations. / Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. — USA: CRC Press, 1994, — 432 P.Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations. / Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. — USA: CRC Press, 1994, — 432 P.Gilbert E.N., Pollak H.O. / Steiner Minimal Trees. // Gilbert E.N., Pollak H.O. // SIAM J. Appl. Math. — 1968, v.16, №1, P. 1-29.Gilbert E.N., Pollak H.O. / Steiner Minimal Trees. // Gilbert E.N., Pollak H.O. // SIAM J. Appl. Math. — 1968, v.16, №1, P. 1-29.Abbott T.G. Generalizations of Kempe’s Universality Theorem / Abbott T.G. — Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 2008, 86 P.Abbott T.G. Generalizations of Kempe’s Universality Theorem / Abbott T.G. — Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 2008, 86 P.King H. Semiconfiguration spaces of planar linkages / King H. // URL:https://arxiv.org/abs/math/9810130King H. Semiconfiguration spaces of planar linkages / King H. // URL:https://arxiv.org/abs/math/9810130H. King. Configuration spaces of linkages in R𝑛 / H. King // arXiv.org:math/9811138.H. King. Configuration spaces of linkages in R𝑛 / H. King // arXiv.org:math/9811138.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.