chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-2-56-73cheb-1270Research ArticleСтатьиArticleКонечное отклонение и основная мера качества для сеток КоробоваThe final deviation and the main quality measure for Korobov gridsДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor

nikolai.dobrovolsky@gmail.comДобровольскийМихаил НиколаевичDobrovol’skiiMikhail Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of candidate of physical and mathematical sciences

m.dobrovolsky@gcras.ruРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

dobrovol@tsput.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Тульский государственный университетРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tula State UniversityRussian FederationГеофизический центр РАНРоссияGeophysical centre of RASRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого РоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation2022070720222325673Copyright © Добровольский Н.Н., Добровольский М.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., 20222022Добровольский Н.Н., Добровольский М.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М.Dobrovol’skii N.N., Dobrovol’skii M.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1270

В работе рассматриваются четыре новых понятия: модифицированная основная мера качества набора коэффициентов, абсолютно оптимальные коэффициенты индекса 𝑠, математическое ожидание локального отклонения параллелепипедальной сетки и дисперсия локального отклонения параллелепипедальной сетки.Показано, что не менее чем ((𝑝−1)^𝑠)/2 различных наборов (𝑎1, . . . , 𝑎𝑠) целых чисел, взаимно простых с модулем 𝑝, будут абсолютно оптимальными наборами индекса 𝑠 с константой𝐵 = 2𝑠.Установлено, что любой абсолютно оптимальный набор оптимальных коэффициентов индекса 𝑠 является оптимальным набором оптимальных коэффициентов индекса 𝑠, при этом любой его поднабор из 𝑠1 коэффициентов является оптимальным набором оптимальных коэффициентов индекса 𝑠1.Для конечного отклонения, введенного Н. М. Коробовым в 1967 году, для параллелепипедальных сеток получены новые формулы и оценки.В работе впервые рассмотрено понятие математического ожидания локального отклонения и найдена удобная формула для его вычисления.Также впервые рассмотрено понятие дисперсии локального отклонения.В работе намечены направления дальнейших исследований по данной тематике.

The paper considers four new concepts: a modified basic measure of the quality of a set of coefficients, absolutely optimal coefficients of the index 𝑠, the mathematical expectation ofthe local deviation of the parallelepipedal grid and the variance of the local deviation of the parallelepipedal grid.It is shown that at least ((𝑝−1)^𝑠)/2 of different sets (𝑎1, . . . , 𝑎𝑠) integers mutually prime with the module 𝑝 will be absolutely optimal sets of the index 𝑠 with the constant 𝐵 = 2𝑠.It is established that any absolutely optimal set of optimal coefficients of the 𝑠 index is an optimal set of optimal coefficients of the 𝑠 index, while any subset of its 𝑠1 coefficients is anoptimal set of optimal coefficients of the 𝑠1 index.For the finite deviation introduced by N. M. Korobov in 1967, new formulas and estimates are obtained for parallelepipedal grids.In this paper, for the first time, the concept of the mathematical expectation of a local deviation is considered and a convenient formula for its calculation is found.The concept of local deviation variance is also considered for the first time.The paper outlines the directions of further research on this topic.

конечное отклонениеосновная мера качествасетки Коробоваконеч- ные ряды Фурье.finite deviationthe main measure of qualityKorobov gridsfinite Fourier series.Работа подготовлена по гранту РФФИ № 19-41-710004_р_а и при финансовой поддержке гранта правительства Тульской области по Договору ДС/294 от 16.11.2021 г.ReferencesАвдеева М. О. Оценка количества локальных минимумов целочисленных решеток // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т. 5 вып. 4(12). С. 35 — 38.Авдеева М. О. Оценка количества локальных минимумов целочисленных решеток // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т. 5 вып. 4(12). С. 35 — 38.Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.Babenko, K.I. 1986, Osnovy chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis], Nauka, Moscow, Russia.Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3 вып. 2(4). С. 27 — 33.Bykovskij, V.А 2002, “On the error of number-theoretic quadrature formulas”, Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27–33.Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Докл. РАН. 2003. Т. 389. N.2. С. 154 — 155.V. A. Bykovskii, 2003, “On the error of number-theoretic quadrature formulas”, Dokl. Math., 67:2, 175–176.Горкуша О. А. Критерий конечности множества локальных минимумов решетки // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. VI Междунар.Gorkusha O. A. 2004, “Criterion of finiteness of the set of local lattice minima”, Algebra and Number Theory: Modern Problems and Applications: Thesis of the sixth International Conference dedicated to the 100th anniversary of N. G. Chudakov (Saratov, 13 — 17 September 2004). — Saratov: Sarat Publishing House. un-ta, p. 47.конф., посвященной 100-летию Н. Г. Чудакова (Саратов, 13 — 17 сентября 2004 г.). — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 47.Gorkusha O. A. 2002, “Criterion of finiteness of the set of local lattice minima”, Chebyshevskij sbornik, Vol. 5, issue 3(11). p. 15–17.Горкуша О. А. Критерий конечности множества локальных минимумов решетки // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 5 вып. 3(11). С. 15 — 17.Demidov S. S., Morozova E. A., Chubarikov V. N., Rebrov I. Yu., Balaba I. N., Dobrovol’skii N. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovol’skaya L. P., Rodionov A. V., Pikhtil’kova O. A.,Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добровольский Н. Н., Добровольский Н. М., Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-, "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol. 18, № 4. pp. 6–85.ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 6–85.Dobrovol’skii, N. M. 1984, “The hyperbolic Zeta function of lattices”, Dep. v VINITI, no. 6090–84.Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6090 – 84.A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol’skii, N. M. Dobrovol’skii, 2021, “On the hyperbolic parameter of a two-dimensional lattice of comparisons”, Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 168–182.А. Н. Кормачева, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. О гиперболическом параметре двумерной решётки сравнений // Чебышевcкий сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 168–182.Korobov, N.M. 1959, “On approximate computation of multiple integrals”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 124, no. 6, pp. 1207–1210.Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207–1210.Korobov, N.M. 1959, “The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19–25.Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19–25.Korobov, N.M. 1960, “Properties and calculation of optimal coefficients”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009–1012.Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960. № 5. С. 1009–1012.Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. / М.: Физмат-гиз, 1963.Korobov, N.M. 1967, “About some questions of the theory of Diophantine approximations”, Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 22, no. 3(135), pp. 83–118.Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений // УМН. 1967. Т. 22, 3 (135). С.83–118.Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе.(второе издание) М.: МЦНМО, 2004.Lokutsievskij, O. V. & Gavrikov, M. B. 1995, Nachala chislennogo analiza [The beginning of numerical analysis], TOO “Yanus”, Moscow, Russia.О. В. Локуциевский, М. Б. Гавриков Начала численного анализа / М.: ТОО "Янус" 1995.Roth, K.F. 1954, “On irregularities of distribution”, Mathematika, 1, pp. 73–79.Roth K. F. On irregularities of distribution // Mathematika. 1. 1954, P. 73–79.Roth K. F. On irregularities of distribution // Mathematika. 1. 1954, P. 73–79.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.