кандидат технических наук, доцент
candidate of technical sciences, associate professor
В работе показано, что линейное многообразие матриц вида: Q=Q0+Σ︀a𝑖P𝑖, может состоять из одних проекторов. Оказывается, для этого необходимо и достаточно, чтобыP𝑖=Q𝑖-Q0 и все матрицы Q𝑖 были проекторами, причем: (Q𝑖-Q𝑗)2=0 для любой пары i и j. Установлено, что все проекторы, составляющие это линейное многообразие, имеют одинранг и любая пара A,B этих проекторов удовлетворяет (A-B)2=0.Найдены несколько условий, эквивалентных тому, что два проектора A,B удовлетворяют (A-B)2=0, одно из них в терминах подпространств, определяющих эти проекторы.Пусть n порядок проекторов Q𝑖, r — их ранг, тогда показано, что максимальное число линейно независимых матриц P𝑖=Q𝑖-Q0 таких, что выполняются условия (Q𝑖-Q𝑗)2=0,равно r(n-r). Поэтому, любой проектор ранга r можно представить в виде суммы ортопроектора Q0 и линейной комбинации не более, чем r(n-r) проекторов Q𝑖, так, что выполняется (Q𝑖-Q𝑗)2=0, i,j=0,1,..,r(n-r).В работе вычислено минимальное расстояние между двумя проекторами рангов k и l — |𝑘 − 𝑙|1/2. Максимальное расстояние между двумя ортопроекторами одного ранга k —(2𝑘)1/2.Установлено, что многочлен h(p,q)=(p-q)2 играет особую роль для алгебры 𝒜(𝑝, 𝑞), порождаемой проекторами p,q,I. Многочлен h порождает центр этой алгебры — множествоэлементов коммутирующих со всеми элементами 𝒜(𝑝, 𝑞).
The paper shows that a linear manifold of matrices of the form: Q=Q0+Σ︀a𝑖P𝑖, can consist of projectors only. It turns out that for this it is necessary and sufficient that P𝑖 =Q𝑖-Q0 and all the matrices Q𝑖 be projectors, moreover: (Q𝑖-Q𝑗)2=0 for any pair i and j. It is established that all projectors that make up this linear manifold have one rank and any pair A, B of these projectors satisfies (A-B)2=0.Several conditions were found equivalent to the fact that two projectors A,B satisfy (AB) 2=0, one of them in terms of the subspaces defining these projectors.Let n be the order of the projectors Q𝑖, r be their rank, then it is shown that the maximum number of linearly independent matrices P𝑖=Q𝑖-Q0 such that the conditions (Q𝑖-Q𝑗)2=0 aresatisfied is r(n-r). Therefore, any projector of rank r can be represented as the sum of an orthoprojector Q0 and a linear combination of at most r(n-r) projectors Q𝑖 so that (Q𝑖-Q𝑗)2=0,i,j=0,1,..,r(n-r).The paper calculates the minimum distance between two projectors of ranks k and l - |𝑘 − 𝑙|1/2. The maximum distance between two orthoprojectors of the same rank k is (2𝑘)1/2.It is established that the polynomial h(p,q)=(p-q)2 plays a special role for the algebra 𝒜(𝑝, 𝑞) generated by the projectors p,q,I. The polynomial h generates the center of this algebra — the set of elements commuting with all elements of 𝒜(𝑝, 𝑞).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.