доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистан
doctor of physical and mathematical sciences, professor, academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan
В статье рассматриваются экстремальные задачи среднеквадратического приближения функций комплексного переменного, регулярных в области D ⊂ C, рядами Фурье по ортогональной в D системе функций {𝜙_𝑘(𝑧)}∞𝑘=0, принадлежащих весовому пространству Бергмана 𝐵2,𝛾 с конечной нормой
$$‖𝑓‖2,𝛾 := ‖𝑓‖𝐵2,𝛾 =(1/2𝜋∫︁∫︁(D) 𝛾(|𝑧|)|𝑓(𝑧)|^2 𝑑𝜎)^(1/2),$$
где 𝛾 := 𝛾(|𝑧|) ≥ 0 – вещественная интегрируемая в области D функция, а интеграл понимается в смысле Лебега, 𝑑𝜎 := 𝑑𝑥𝑑𝑦 – элемент площади.Более подробно исследуется сформулированная задача в случае, когда D – единичный круг в пространстве 𝐵_2,𝛾𝛼,𝛽 , 𝛾_𝛼,𝛽 = |𝑧|^𝛼(1 − |𝑧|)^𝛽 𝛼, 𝛽 > −1 – вес Якоби. В этом случае доказаны точные неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие величину наилучшего среднеквадратичного полиномиального приближения 𝑓 ∈ ℬ^(𝑟)_2,𝛾𝛼,𝛽 и K -функционала Петре. В случае 𝛾_𝛼,𝛽 ≡ 1 получаем ранее известные результаты.
The article considers extremal problems of mean-square approximation of functions of a complex variable, regular in the domain D ⊂ C, by Fourier series orthogonal in the system of functions {𝜙_𝑘(𝑧)}∞𝑘=0 in D belonging to the weighted Bergman space 𝐵2,𝛾 with finite norm
$$‖𝑓‖2,𝛾 := ‖𝑓‖𝐵2,𝛾 =(1/2𝜋∫︁∫︁(D) 𝛾(|𝑧|)|𝑓(𝑧)|^2 𝑑𝜎)^(1/2),$$
where 𝛾 := 𝛾(|𝑧|) ≥ 0 is a real integrable function in the domain D, and the integral is understood in the Lebesgue sense, 𝑑𝜎 := 𝑑𝑥𝑑𝑦 is an element of area.The formulated problem is investigated in more detail in the case when D is the unit disc in the space 𝐵_2,𝛾𝛼,𝛽 , 𝛾_𝛼,𝛽 = |𝑧|^𝛼(1 − |𝑧|)^𝛽, 𝛼, 𝛽 > −1 – Jacobi weight. Sharp Jackson-Stechkintype inequalities that relate the value of the best mean-squared polynomial approximation of 𝑓 ∈ ℬ^(𝑟)_2,𝛾𝛼,𝛽 and the Peetre K -functional were proved. In case when 𝛾𝛼,𝛽 ≡ 1 we will obtain the earlier known results.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.