доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых 𝑝-адических чисел по всем простым числам 𝑝. Элементы 𝜃 этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых в соответствующем кольце целых 𝑝-адических чисел обозначаем 𝜃^(𝑝). Бесконечная линейная независимость полиадических чисел 𝜃_1, . . . , 𝜃_𝑚 означает, что для любой ненулевой линейной формы ℎ_1𝑥_1+. . .+ℎ_𝑚*𝑥_𝑚 с целыми коэффициентами ℎ_1, . . . , ℎ_𝑚 существует бесконечное множество простых чисел 𝑝 таких, что в поле Q𝑝 выполняется неравенство
$$ℎ_1𝜃_1^(𝑝) + . . . + ℎ_𝑚𝜃_m^(𝑝) ̸= 0.$$
Вместе с тем, представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числатолько из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говоритьв таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество.Каноническое представление элемента 𝜃 кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда
$$𝜃 =∞Σ︁𝑛=0𝑎_𝑛*𝑛!, 𝑎_𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎_𝑛 ≤ 𝑛.$$
Разумеется, ряд, члены которого — целые числа, сходящийся во всех полях 𝑝-адических чисел, представляет собой целое полиадическое число. Будем называть полиадическое число 𝜃 полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число 𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 ,выполнено неравенство
$$|𝜃 − 𝐴|_𝑝 < 𝐴^(−𝑛).$$
Здесь будет доказана бесконечная линейная независимость полиадических чисел
$$𝑓_0(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)_𝑛, 𝑓_1(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)_𝑛.$$
с ограничениями на множество простых чисел в совокупности арифметических прогрессий.Важным аппаратом получения этого результата являются построенные в работе Ю.В. Нестеренко [
A ring of polyadic integers is a direct product of rings of integer 𝑝-adic numbers over all primes 𝑝. The elements 𝜃 of this ring can thus be considered as infinite-dimensional vectors whose coordinates in the corresponding ring of integer 𝑝-adic numbers are denoted by 𝜃^(𝑝). The infinite linear independence of polyadic numbers 𝜃_1, . . . , 𝜃_𝑚 means that for any nonzero linear form ℎ_1𝑥_1 + . . . + ℎ_𝑚*𝑥_𝑚 with integer coefficients ℎ_1, . . . , ℎ_𝑚 there is an infinite set of primes 𝑝 such that in the field Q_𝑝 the inequality
$$ℎ_1𝜃_1^(𝑝) + . . . + ℎ_𝑚𝜃_m^(𝑝) ̸= 0.$$
holds. At the same time, problems in which primes are considered only from some proper subsets of the set of primes are of interest. In this case, we will talk about infinite linear independence with restrictions on the specified set. Canonical representation of the element 𝜃 of the ring of polyadic integers has the form of a series
$$𝜃 =∞Σ︁𝑛=0𝑎_𝑛*𝑛!, 𝑎_𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎_𝑛 ≤ 𝑛.$$
Of course, a series whose members are integers converging in all fields of 𝑝-adic numbers is a polyadic integer. We will call a polyadic number 𝜃 a polyadic Liouville number (or a Liouville polyadic number) if for any numbers 𝑛 and 𝑃 there exists a natural number 𝐴 such that for all primes 𝑝 satisfying the inequality 𝑝 ≤ 𝑃 the inequality
$$|𝜃 − 𝐴|_𝑝 < 𝐴^(−𝑛).$$
This work continues the development of the basic idea embedded in [
$$𝑓_0(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)_𝑛, 𝑓_1(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)_𝑛.$$
will be proved. An important apparatus for obtaining this result are Hermite–Pade approximations of generalized hypergeometric functions constructed in the work of Yu.V. Nesterenko [
The authors declare that there are no conflicts of interest present.