кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В работе изучается связь проблемы определения количества точек двумерной решётки приближений Дирихле в гиперболическом кресте и интегрального представления гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле. Введено понятие компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле.Найдено представление для первой компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле через дзета-функцию Римана. Относительно первой компоненты установлен парадоксальный факт, что она непрерывна для любого иррационального 𝛽 и разрывна во всех рациональных точках 𝛽. Это относится к зависимости только от параметра 𝛽.Для второй компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального значения 𝛽 = 𝑎𝑏 получена асимптотическая формула для количества точек второй компоненты двумерной решётки приближений Дирихле в гиперболическом кресте. Полученная формула даёт интегральное представление в полу-плоскости 𝜎 > 1/2 .Основным инструментом исследований была формула суммирования Эйлера. Для целей работы необходимо было получить явные выражения остаточных членов в асимптотических формулах для числа точек классов вычетов двумерной решётки приближений Дирихле по растянутой фундаментальной решётке 𝑏Z×Z.И теорема 1, и теорема 2, доказанные в работе, показывают наличие зависимости второго члена асимптотической формулы и вычета гиперболической дзета-функции решётки Λ(︀ 𝑎/𝑏)︀ от величины знаменателя 𝑏 и независимости от числителя 𝑎. Ранее аналогичные эффекты были обнаружены А. Л. Рощеней для других обобщений проблемы Дирихле.В работе поставлена задача об уточнении порядка остаточного члена в асимптотических формулах с помощью изучения величин$$𝑅*1(𝑇, 𝑏, 𝛿) =(√𝑇)/bΣ︁𝑞=1{︂𝑇/𝑏𝑞− 𝛿}︂−(√𝑇)/2𝑏, 𝑅*2(𝑇, 𝑏, 𝛿) =√𝑇−𝛿Σ︁𝑝=1{︂𝑇/(𝑏𝑝 + 𝑏𝛿)}︂−(√𝑇)/2.$$Предлагается сначала изучить возможности элементарного метода И. М. Виноградова, а потом получить наиболее точные оценки с помощью метода тригонометрических сумм.В работе намечены направления дальнейших исследований по данной тематике.
The paper studies the relationship between the problem of determining the number of points of a two-dimensional lattice of Dirichlet approximations in a hyperbolic cross and the integral representation of the hyperbolic zeta function of a two-dimensional lattice of Dirichlet approximations. The concept of components of hyperbolic zeta-functions of a twodimensional lattice of Dirichlet approximations is introduced. A representation is found for the first component of the hyperbolic zeta function of a two-dimensional lattice of Dirichletapproximations via the Riemann zeta function. With respect to the first component, the paradoxical fact is established that it is continuous for any irrational 𝛽 and discontinuous at all rational points of 𝛽. This refers to the dependency only on the 𝛽 parameter.For the second component of the hyperbolic zeta-function of the two-dimensional lattice of Dirichlet approximations in the case of a rational value 𝛽 = 𝑎𝑏 , an asymptotic formula is obtained for the number of points of the second component of the two-dimensional lattice of Dirichlet approximations in the hyperbolic cross. The resulting formula gives an integral representationin the half-plane 𝜎 > 1/2 .
The main research tool was the Euler summation formula. For the purposes of the work, it was necessary to obtain explicit expressions of the residual terms in asymptotic formulas for the number of points of residue classes of a two-dimensional lattice of Dirichlet approximations over a stretched fundamental lattice 𝑏Z×Z. Both Theorem 1 and Theorem 2, proved in the paper, show the dependence of the second term of the asymptotic formula and the deduction ofthe hyperbolic zeta function of the lattice Λ(︀𝑎/𝑏)︀ depends on the magnitude of the denominator 𝑏 and independence from the numerator 𝑎. Earlier, similar effects were discovered by A. L. Roscheney for other generalizations of the Dirichlet problem.The paper sets the task of clarifying the order of the residual term in asymptotic formulas by studying the quantities
$$𝑅*1(𝑇, 𝑏, 𝛿) =(√𝑇)/bΣ︁𝑞=1{︂𝑇/𝑏𝑞− 𝛿}︂−(√𝑇)/2𝑏, 𝑅*2(𝑇, 𝑏, 𝛿) =√𝑇−𝛿Σ︁𝑝=1{︂𝑇/(𝑏𝑝 + 𝑏𝛿)}︂−(√𝑇)/2.$$
It is proposed to first study the possibilities of the elementary method of I. M. Vinogradov,and then to obtain the most accurate estimates using the method of trigonometric sums. Thepaper outlines the directions of further research on this topic.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.