chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2022-23-1-53-82cheb-1234Research ArticleСтатьиArticleБиллиардные книжки малой сложности и реализация слоений Лиувилля интегрируемых системBilliard books of low complexity and realization of Liouville foliations of integrable systemsВедюшкинаВиктория ВикторовнаVedyushkinaVictoria Viktorovna

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

arinir@yandex.ruКибкалоВладислав АлександровичKibkaloVladislav Alexandrovich

 кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

slava.kibkalo@gmail.comМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2022060620222315382Copyright © Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., 20222022Ведюшкина В.В., Кибкало В.А.Vedyushkina V.V., Kibkalo V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1234

В статье изучается топология интегрируемых биллиардных книжек, то есть систем на клеточных комплексах, склеенных из столов плоских софокусных биллиардов. Получены существенные продвижения по доказательству локальной версии гипотезы Фоменко о биллиадах. В частности, биллиардами удалось реализовать важный класс подграфов в графе-инварианте Фоменко–Цишанга, классифицирующем интегрируемые системы с точки зрения топологии их слоений Лиувилля. Затем выполнена комбинаторная классификация биллиардных книжек малой сложности (имеющих малое число одномерных клеток), склеенных из плоских областей, содержащие фокусы семейства квадрик. Для этих систем ведется вычисление инвариантов Фоменко–Цишанга.

In paper we study the topology of integrable billiard books, (i.e. systems on CW-complexes glued from flat domains of confocal billiards. Significant progress has been made in proving the local version of the billiard Fomenko conjecture. In particular, billiards were used to realize an important class of subgraphs of the Fomenko - Zieschang graph invariants (that classify Liouville foliations of integrable systems in topological sense). Then we classify in combinatorial sensebilliard books of low complexity (with a small number of one-dimensional cells), glued from flat domains that contain foci of the family of quadrics. Calculation of Fomenko–Zieschang invariants for these systems is in progress.

интегрируемые биллиардыинвариант Фоменко-Цишангаперестанов- ка.integrable billiardsFomenko-Zieschang invariantpermutation.Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 20-71-00155 в МГУ имени М.В.Ломоносова).ReferencesБиркгоф Дж. Динамические системы // Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.Birkhoff, G. D. 1927, Dynamical systems // AMS Colloq. Publ., 9, AMS, New York, 1927, 295p.Табачников С. Л. Геометрия и биллиарды // М.-Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский инсn. комп. исслед., 2011.Tabachnikov, S. L. 2005, Geometry and Billiards, Student Mathematical Library, vol. 30.Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе // М.; Ижевск, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2010.Dragovic, V. & Radnovic, M. 2010, Poncelet Porisms and Beyond: Integrable Billiards, Hyperelliptic Jacobians and Pencils of Quadrics, Frontiers in Mathematics, Birkh¨auser, 302p.Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами, М.: Изд-во МГУ, 1991.Kovlov, V.V & Treshchev, D. V. 1991, Billiards. A genetic introduction to the dynamics of systems with impacts, Transl. Math. Monogr., 89, AMS, Providence, RI, 1991, viii+171 p.Glutyuk A. On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature // J. of the Europ. Math. Soc. 2021. V. 23, №3. P. 995-1049.Glutyuk, A. 2021, “On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature“, J. of the Europ. Math. Soc., vol. 23, no. 3, pp. 995-1049.Kaloshin V., Sorrentino A. On the local Birkhoff conjecture for convex billiards // Ann. of Math. 2018. V. 188, №1. P. 315-380.Kaloshin, V. & Sorrentino, A. 2018, “On the local Birkhoff conjecture for convex billiards“, Ann. of Math., vol. 188, no. 1, pp. 315-380.Ведюшкина В. В., Харчева И. С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. Т. 209, №12. С. 17-56.Vedyushkina, V. V. & Kharcheva, I. S. 2021, “Billiard books model all three-dimensional bifurcations of integrable Hamiltonian systems“, Sb. Math., vol. 209, no. 12, pp. 1690-1727.Ведюшкина В. В., Фоменко А.Т. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. Унив., Матем. Мех. 2019. №3. С. 15-25.Fokicheva, V. V. & Fomenko, A. T. 2019, “Billiards and integrability in geometry and physics. New scope and new potential“, Mosc. Univ. Math. Bull., vol. 74, no. 3, pp. 98-107.Фокичева В. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // ДАН. 2015. Т. 465,№2. С. 150-153.Fokicheva, V. V. & Fomenko, A. T. 2015, Integrable Billiards Model Important Integrable Cases of Rigid Body Dynamics“, Dokl. Math., vol. 92, no. 3, pp. 682-684.Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, №6. С. 1276-1307.Fomenko A. T. 1987, “The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrability“, Math. USSR-Izv., vol. 29, no. 3, pp. 629–658.Фоменко А.Т, Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, №3. С. 546-575.Fomenko A. T. & Zieschang H. 1991, “A topological invariant and a criterion for the equivalence of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom“, Math. USSR-Izv., vol. 36, no. 3, pp. 567–596.Болсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. T.1, 2 // Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”. 1999.Bolsinov, A. V. & Fomenko, A. T. 2004, Integrable Hamiltonian systems: geometry, topology, classification, Chapman & Hall /CRC, Boca Raton, London, N.Y., Washington.Ведюшкина В.В., Харчева И. С. Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2021. T. 212, №8. C. 89-150.Vedyushkina, V. V. & Kharcheva, I. S. 2021, “Billiard books realize all bases of Liouville foliations of integrable Hamiltonian systems“, Sb. Math., vol. 212, no. 8, pp. 1122-1179.Ведюшкина В. В., Кибкало В. А. Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем., мех. 2020. №4. С. 22-28.Vedyushkina, V. V. & Kibkalo, V. A. 2020, “Realization of the numerical invariant of the Seifert fibration of integrable systems by billiards“, Mosc. Univ. Math. Bull., vol. 75, no. 4, pp. 161-168.Ведюшкина В. В. Локальное моделирование слоений Лиувилля бильярдами: реализация реберных инвариантов // Вестн. Моск. Унив. Матем. Механ. №2. С. 60-64.Vedyushkina, V. V. 2020, “Local Modeling of Liouville Foliations by Billiards: Implementation of Edge Invariants“, Mosc. Univ. Math. Bull., vol. 76, no. 2, pp. 60-64.Ведюшкина В. В., Кибкало В. А., Фоменко А.Т. Топологическое моделирование интегрируемых систем биллиардами: реализация числовых инвариантов // Докл. РАН. Матем., Механ. Процессы упр. 2020. Т. 493. С. 9-12.Vedyushkina, V. V., Kibkalo, V. A. & Fomenko, A. T. 2020, Topological modeling of integrable systems by billiards: realization of numerical invariants“, Dokl. Math., vol. 102, no. 1, pp. 269- 271.Якоби К. Лекции по динамике, М., Л. ОНТИ. 1936.Jacobi, C. G. 1884, Vorlesunger uber Dynamik, Berlin: Druck und Verlag von Reimer.Glutsyuk A. A. On Two-Dimensional Polynomially Integrable Billiards on Surfaces of Constant Curvature // Dokl. Math. 2018. V. 98, №1. P. 382-385.Glutsyuk, A. A. 2018, “On Two-Dimensional Polynomially Integrable Billiards on Surfaces of Constant Curvature“, Dokl. Math., vol. 98, no. 1, pp. 382-385.Bialy M., Mironov A. E. Algebraic non-integrability of magnetic billiards // J. Phys. A. 2016. V. 49, №45. P. 455101.Bialy, M. & Mironov A. E. 2016, “Algebraic non-integrability of magnetic billiards“, J. Phys. A., vol. 49, no. 45, pp. 455101.Glutsyuk A. A., On commuting billiards in higher-dimensional spaces of constant curvature // Pacific J. Math. 2020. V. 305, №2. P. 577-595.Glutsyuk, A.A. 2020, “On commuting billiards in higher-dimensional spaces of constant curvature“, Pacific J. Math., vol. 305, no. 2, pp. 577-595.Vedyushkina V. V, Fomenko A. T., Kharcheva I. S., Modeling nondegenerate bifurcations of closures of solutions for integrable systems with two degrees of freedom by integrable topological billiards // Dokl. Math. 2018. V. 97, №2. P. 174-176.Vedyushkina, V.V, Fomenko, A. T. & Kharcheva, I. S. 2018., “Modeling nondegenerate bifurcations of closures of solutions for integrable systems with two degrees of freedom by integrable topological billiards“, Dokl. Math., vol. 97, no. 2, pp. 174-176.Dragovi´𝑐 V., Radnovi´𝑐 M. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. V. 14, №4-5. P. 479-494.Dragovi´𝑐, V. & Radnovi´𝑐, M. 2009, “Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards“, Regul. Chaotic Dyn., vol. 14, no. 4-5, pp. 479-494.Фокичева В. В. Описание особенностей системы “биллиард в эллипсе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. №5. С. 31-34.Fokicheva, V. V. 2012, “Description of singularities for system “billiard in an ellipse“, Moscow Univ. Math. Bull., vol. 67, no. 5-6, pp. 217-220.Фокичева В. В., Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014, №4. С. 18-27.Fokicheva, V. V. 2014, “Description of singularities for billiard systems bounded by confocal ellipses or hyperbolas“, Mosc. Univ. Math. Bull., vol. 69, no. 4, pp. 148–158.Dragovi´𝑐 V. & Radnovi´𝑐 M.. Caustics of Poncelet Polygons and Classical Extremal Polynomials // Regul. Chaotic Dyn. 2019. V. 24, №1. P. 1-35.Dragovi´𝑐, V. & Radnovi´𝑐, M. 2019, “Caustics of Poncelet Polygons and Classical Extremal Polynomials“, Regul. Chaotic Dyn., vol. 24, no. 1, pp. 1-35.Adabrah A. K., Dragovi´𝑐 V., Radnovi´𝑐 M. Elliptical Billiards in the Minkowski Plane and Extremal Polynomials // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2019. V. 15, №4. P. 397-407.Adabrah, A. K., Dragovi´𝑐, V. & Radnovi´𝑐, M. 2019, “Elliptical Billiards in the Minkowski Plane and Extremal Polynomials“, Rus. J. Nonlin. Dyn., vol. 15, no. 4, pp. 397-407.Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УМН. 1990. Т. 45, №2. С. 49-77.Bolsinov, A. V., Matveev, S. V. & Fomenko A.T. 1990, “Topological classification of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. List of systems of small complexity“, Russian Math. Surveys, vol. 45, no. 2, pp. 59-94.Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Доклады АН СССР. 1986. Т. 287, №5. С. 1071-1075.Fomenko, A. T. 1986, “Morse theory of integrable Hamiltonian systems“, Soviet Math. Dokl., vol. 33, no. 2, pp. 502-506.Фокичева В. В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб., 2015. Т. 206, №10. С. 127-176.Fokicheva, V. V. 2015, “A topological classification of billiards in locally planar domains bounded by arcs of confocal quadrics“, Sb. Math., vol. 206, no. 10, pp. 1463–1507.Ведюшкина В. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81, №4. С. 20-67.Vedyushkina, V. V. & Fomenko, A. T., “Integrable Topological Billiards and Equivalent Dynamical Systems“, Izv. Math., vol. 81, no. 4, pp. 688–733.Ведюшкина В. В. Инварианты Фоменко-Цишанга невыпуклых топологических биллиардов // Матем. сб. 2019. Т. 210, №3 17-74.Vedyushkina, V. V. 2019, “The Fomenko–Zieschang invariants of nonconvex topological billiards“, Sb. Math., vol. 210, no. 3, 310–363.Кибкало В. А., Фоменко А.Т., Харчева И. С. Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками Труды Моск. матем. общ.. 2021. Т. 82, №1. С. 45-78.Kibkalo, V. A., Fomenko, A. T. & Kharcheva, I. S. 2021, “Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books“, Trans. of Moscow Math. Soc., vol. 82, no. 1, (in press). Available at: https://arxiv.org/abs/2012.05337 .Ведюшкина В. В., Фоменко А.Т. Силовые эволюционные биллиарды и биллиардная эквивалентность случая Эйлера и случая Лагранжа // Доклады РАН. 2021. Т. 496. С. 5-9.Vedyushkina, V. V. & Fomenko, A. T. 2021, “Force Evolutionary Billiards and Billiard Equivalence of the Euler and Lagrange Cases“, Dokl. Math., vol. 103, no. 1, pp. 1-4.Фокичева В. В. Топологическая классификация интегрируемых биллиардов // Канд. Диссерт., Москва. МГУ. 2016.Fokicheva, V. 2016, Topological Classification of Integrable Billiards, PhD Thesis, Moscow, Lomonosov MSU.Матвеев С. В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии // М., изд-во МГУ, 1991, 303 с.Matveev, S. V. & Fomenko A. T. 1997, Algorithmic and Computer Methods for Three-Manifolds, Springer, 352 p.Ведюшкина В. В. Интегрируемые биллиарды на клеточных комплексах и интегрируемые гамильтоновы системы // Докт. Диссерт., Москва. МГУ. 2020.Vedyushkina, V. V. 2020, Integrable billiards on CW-complexes and integrable Hamiltonian systems, Doctoral Thesis, Moscow, Lomonosov MSU.Ведюшкина В. В. Интегрируемые биллиарды реализуют торические слоения на линзовых пространствах и 3-торе // Матем. сб. 2020. Т. 211, №2. С. 46-73.Vedyushkina, V. V. 2020, “Integrable billiard systems realize toric foliations on lens spaces and the 3-torus“, Sb. Math., vol. 211, no. 2, pp. 201-225.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.