В статье теорема Минковского о линейных формах [1] применяется к многочленам с целыми коэффициентами𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 (1)степени 𝑑𝑒𝑔𝑃 = 𝑛 и высоты 𝐻(𝑃) = max06𝑖6𝑛 |𝑎𝑖|. Тогда для любого 𝑥 ∈ [0, 1) и натурального числа 𝑄 > 1 получим неравенство|𝑃(𝑥)| < 𝑐1(𝑛)𝑄−𝑛, (2)для некоторого 𝑃(𝑥),𝐻(𝑃) ≤ 𝑄. Неравенство (2) означает, что весь интервал [0, 1) может быть покрыт интервалами 𝐼𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . во всех точках которых верно неравенство (2).Дан ответ на вопрос о величине интервалов 𝐼𝑖. Основной результат статьи заключается в доказательстве следующего утверждения.Для любого 𝑣, 0 ≤ 𝑣 < (𝑛+1)/3 , найдется интервал 𝐽𝑘, 𝑘 = 1, . . . ,𝐾, такой что для всех 𝑥 ∈ 𝐽𝑘 выполняется неравенство (2) и при этом 𝑐2𝑄−𝑛−1+𝑣 < 𝜇𝐽𝑘 < 𝑐3𝑄−𝑛−1+𝑣.
In paper Minkowski’s theorem on linear forms [1] is applied to polynomials with integer coefficients𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 (3)with degree 𝑑𝑒𝑔𝑃 = 𝑛 and height 𝐻(𝑃) = max06𝑖6𝑛 |𝑎𝑖|. Then, for any 𝑥 ∈ [0, 1) and a natural number 𝑄 > 1, we obtain the inequality|𝑃(𝑥)| < 𝑐1(𝑛)𝑄−𝑛 (4)for some 𝑃(𝑥),𝐻(𝑃) ≤ 𝑄. Inequality (4) means that the entire interval [0, 1) can be covered by intervals 𝐼𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . at all points of which inequality (4) is true. An answer is given to the question about the size of the 𝐼𝑖 intervals. The main result of this paper is proof of the following statement.For any 𝑣, 0 ≤ 𝑣 < (𝑛+1)/3 , there is an interval 𝐽𝑘, 𝑘 = 1, . . . ,𝐾, such that for all 𝑥 ∈ 𝐽𝑘, the inequality (4) holds and, moreover,𝑐2𝑄−𝑛−1+𝑣 < 𝜇𝐽𝑘 < 𝑐3𝑄−𝑛−1+𝑣.