кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, docent
В работе исследуются обобщенные почти кватернионные многообразия вертикального типа. Приведены примеры этого типа многообразий. Доказано, что на обобщенном почти кватернионном многообразии всегда существует почти 𝛼-кватернионная связность, которая в главном расслоении индуцирует метрическую связность. Получен критерий автодуальности проектируемой вертикальной 2-формы на почти 𝛼-кватернионном многооб-разии. Получены компоненты структурного эндоморфизма на пространстве 𝐺-структуры. Получен ответ на вопрос: когда эндоморфизм Римана-Кристоффеля сохраняет келеров модуль многообразия. Доказано, эндоморфизм Римана-Кристоффеля эрмитова почти 𝛼- кватернионного многообразия вертикального типа сохраняет келеров модуль многообра-зия тогда и только тогда, когда структурный пучок этого многообразия является эйнштейновским. Откуда как следствие получаем, что четырёхмерное многообразие с римановой либо нейтральной псевдоримановой метрикой является многообразием Эйнштейнатогда и только тогда, когда его модуль автодуальных форм инвариантен относительно эндоморфизма Римана-Кристоффеля. Полученное следствие показывает, что предыдущий результат является широким обобщением теоремы Атьи-Хитчина-Сингера, дающей критерий эйнштейновости 4-мерных римановых многообразий в терминах автодуальных форм,поскольку результат обобщает эту теорему на случай нейтральной псевдоримановой метрики. С другой стороны, этот результат тесно связан с известным результатом Берже, который уточняет её в частном случае кватернионно-келеровых многообразий: если многообразие 𝑀 кватернионно-келерово, то его риманова связность (а не только операторРимана-Кристоффеля) сохраняет келеров модуль многообразия. В этом случае 𝑀 является многообразием Эйнштейна.
We study generalized almost quaternionic manifolds of vertical type. Examples of this type of manifolds are given. It is proved that on a generalized almost quaternionic manifold there always exists an almost 𝛼-quaternionic connection, which in the main bundle induces a metric connection. The criterion of the auto-duality of the projected vertical 2-form on an almost 𝛼-quaternion manifold is obtained. The components of the structural endomorphism on the space of the 𝐺-structure are obtained. The answer to the question is obtained: whendoes the Riemann-Christoffel endomorphism preserve the K¨ahler module of a variety. It is proved that the Riemann-Christoffel Hermitian endomorphism of an almost 𝛼-quaternionic variety of vertical type preserves the K¨ahler module of a variety if and only if the structural sheaf of this variety is Einstein. Hence, as a consequence, we obtain that a four-dimensional manifold with a Riemannian or neutral pseudo-Riemannian metric is an Einstein manifold if and only if its module of auto-dual forms is invariant with respect to the Riemann-Christoffelendomorphism. The resulting corollary shows that the previous result is a broad generalization of the Atiyah-Hitchin-Singer theorem, which gives the Einstein criterion for 4-dimensional Riemannian manifolds in terms of auto-dual forms, since the result generalizes this theorem to the case of a neutral pseudo-Riemannian metric. On the other hand, this result is closely related to the well-known result of Berger, who clarifies it in the special case of quaternionic-K¨ahler manifolds: if a variety 𝑀 is quaternionic-Koehler, then its Riemann connectivity (and not just the Riemann-Christoffel operator) preserves the Koehler modulus of the variety. In this case, 𝑀 is an Einstein manifold.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.