chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-5-234-240cheb-1194Research ArticleСтатьиArticleО вещественных нулях производной функции ХардиOn real zeros of the derivative of the Hardy functionХайруллоевШамсулло АмруллоевичKhayrulloevShamsullo Amrulloevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

shamsullo@rambler.ruТаджикский национальный университетТаджикистанTajik National UniversityTajikistan202128012022225234240Copyright © Хайруллоев Ш.А., 20212021Хайруллоев Ш.А.Khayrulloev S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1194

Одной из актуальных задач теории дзета-функции Римана является доказательство существования её нулей на коротких промежутках критической прямой или, что то же самое, вещественных нулей функции Харди $Z(t)$. Обобщением этой задачи является исследование нулей производных $Z^{(j)}(t)$ этой функции. Пусть $T>0$. Определим величину $H_j(T)$ -- расстояние от $T$ до ближайшего вещественного нуля не меньшего $T$ $j$-ой производной функции Харди. В работе доказана верхняя оценка для величины $H_j(T)$.

The existence of the zeros of the Riemann zeta-function in the short segments of the critical line(or the real zeros of Hardy's function $Z(t)$, that is the same) is one of the topical problems in the theory of the Riemann zeta-function.The study of the zeros of Hardy function's derivatives $Z^{(j)}(t)$ is the generalization of such problem.Let $T>0$. Let us define the quantity $H_j(T)$, the distance from $T$ to the nearest real zero not less than $T$ of the $j$-th derivative of the Hardy function. In the paper, an upper bound for $H_j(T)$ is proved.

Функция Хардидзета-функция Риманаэкспоненциальная паратригонометрическая суммакритическая прямаянуль нечётного порядка.Hardy functionRiemann zeta functionexponential pairtrigonometric sumcritical lineodd order zero.ReferencesКарацуба А. А. Дзета-функция Римана и её нули // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. №Karatsuba, A. A., 1985, “The Riemann zeta function and its zeros“, Russian Math. Surveys vol. 40,C. 19 – 70.pp. 23 -– 82.Hardy G. H. Sur les zeros de la fonction 𝜁(𝑠) de Riemann // Compt. Rend. Acad. Sci. 1914. V. 158. pp.Hardy G. H., 1914, “Sur les zeros de la fonction 𝜁(𝑠) de Riemann”, Compt.Rend. Acad.Sci., vol. 158,– 1014.pp. 1012 – 1014.Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann’s zeta–function on the critical line // Math.Z.Hardy, G. H., & Littlewood, J. E. 1921, “The zeros of Riemann’s zeta–function on the critical line”,V. 10. pp. 283 – 317.Math.Z., vol. 10, pp. 283 – 317.Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана // Acta arith. 1976. 31. pp. 31 – 43.Moser, J., 1976, “On a certain sum in the theory of the Riemann zeta-function”, Acta Arith., pp. 31 – 43.Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета–функции Римана, лежащими на(Russian).критической прямой // Труды МИАН. 1981. Т. 157. С. 49 – 63.Karatsuba, A. A., 1983, “On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta function thatКарацуба А. А. О нулях функции 𝜁(𝑠) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АНlie on the critical line”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 157, pp. 51 — 66.СССР. Сер. матем., 48:3 1984. C. 569 -– 584.Karatsuba, A. A., 1984, “On the zeros of the function 𝜁(𝑠) on short intervals of the critical line”, Math.Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана – М.: Физматлит. 1994. –376с. –ISBN 5–USSR-Izv., 24, no. 3, pp. 523 – 537.–014120–8.Voronin, S. M. & Karatsuba, A. A., 1994, The Riemann zeta function, Fiziko-MatematicheskayaРахмонов З. Х., Хайруллоев Ш. А. Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критическойLiteratura, Moscow, 376 pp. ISBN: 5-02-014120-8прямой // Доклады АН Республики Таджикистан. 2009. Т. 52. № 5. C. 331 – 337.Rakhmonov, Z. Kh. & Khayrulloev, Sh. A., 2009, “The neibour zero of the Riemann’s zeta-functionХайруллоев Ш. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой // Вестник Таджикского национального университета. Спецвыпуск посвящен году образования и технических знаний.laying on a critical line”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 52, no. 5, pp. 331 – 337.C. 35 – 40.Khayrulloev, Sh. A., 2010, “On the zeros of the Riemann zeta function on the critical line”, Bulletin ofКарацуба А.А. Распределение нулей функции 𝜁(1/2+𝑖𝑡) // Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:6 1984.the Tajik National University, pp. 35 – 40.C. 1214 -– 1224.Karatsuba, A. A., 1985, “The distribution of zeros of the function 𝜁(1/2+𝑖𝑡)”, Math. USSR-Izv., vol. 25,Карацуба А.А. Плотностная теорема и поведение аргумента дзета-функции Римана // Матем.no. 3, pp. 519 – 529.заметки, 60:3 1996. С. 448 -– 449.Karatsuba, A. A., 1996, “Density theorem and the behavior of the argument of the Riemann zetaХайруллоев Ш. А. О нулях функции Харди и её производных, лежащих на критической прямойfunction”, Math. Notes, vol. 60, no. 3, pp. 333 – 334.// Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. № 4. С. 335 – 348.Khayrulloev, Sh. A., 2010, “On the functions of Hardy zeros and its derivatives lying on the criticalРахмонов З. Х., Хайруллоев Ш. А. Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана,line”, Chebyshevskii Sb., vol. 20, Is. 4, pp. 335 -– 348.лежащими на критической прямой // Доклады АН Республики Таджикистан. 2006. Т. 49. № 5.Rakhmonov, Z. Kh. & Khayrulloev, Sh. A., 2006, “Distance between the next zeros of Riemann’s zetafunctionC. 393 – 400.in the critical line”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 49, no. 5, pp. 393 – 400.Хайруллоев Ш. А. О соседных нулях производной 𝑛–го порядка функции Харди // Доклады АНKhayrulloev, Sh. A., 2019, “Neighboring zeros of the 𝑛–th order derivative of the Hardy function”,РТ. 2019. Т. 62. № 3 – 4. С. 145 – 149.Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 62, no. 3 – 4, pp. 145 – 149.Graham S. W., Kolesnik G. Vander Corput’s Method of Exponential sums. Cambridge university press.Graham, S. W. & Kolesnik, G., 1991, “Van Der Corput’s Method of Exponential Sums”, CambridgeCambridge. New York. Port Chester. Melbourne. Sydney.University Press. Cambridge, New York, Port Chester, Melbourne, Sydney, 119 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.