доктор педагогических наук, кандидат физико-математическихнаук, доцент
doctor of pedagogical Sciences, candidate of physical and mathematicalsciences, associate professor
В статье рассмотрены вопросы перечисления остовных дереьвев некоторых графов специального вида. Именно, доказан ряд новых результатов о числе остовных деревьев графов, играющих важную роль в прикладных задачах теории информации. Во-первых, рассмотрены свойства остовных сходящихся деревьев ориентированных графов, участвующих в построении квазиметрики среднего времени первого прохода -- обобщенной метрической структуры, тесно связанной с эргодическими однородными цепями Маркова. Во-вторых, изучены характеристики остовных корневых деревьев и остовных сходящихся дереьвев неориентированных и ориентированных графов, необходимых для построения матрицы относительной лесной доступности -- одной из мер близости вершин графовых структур, играющей важную роль при решении прикладных задач. Рассуждения проведены на базе графов-гусениц и их ориентированных аналогов. Аналогичные результаты для простого пути и простого цикла (как в ориентированном, так и в неориентированном случаях) были получены ранее.
В первом разделе (введении) представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы.Рассмотрена роль графовых моделейв представлении и исследовании эргодических однородных цепей Маркова.Дано определение и раскрыта роль матрицы относительной лесной доступности неориентированных и ориентированных графов для решения прикладных задач теории информации.
Во втором разделе собраны базовые определения теории графов, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов работы. Дано определение графа и ориентированного графа, остовного подграфа, остовного корневого леса (для неориентированных графов) и остовного сходящегося леса (для ориентированных графов). Приведены примеры (простой путь, простой цикл, граф-гусеница и их ориентированные аналоги).В этом же разделе сформулирован ряд свойств чисел Фибоначчи, необходимых для получения основных результатов статьи в случае неориентированных графов-гусениц.
В третьем разделе доказаны две теоремы о перечислении графов, связанных с построением матрицы среднего времени первого прохода для однородной эргодической цепи Маркова. Именно, найдено количество остовных сходящихся деревьев для ориентированного графа-гусеницы и остовных корневых деревьев для неориентированного графа-гусеницы; произведен подсчет остовных лесов, состоящих из двух деревьев, для тех же графовых структур. Результаты, связанные с ориентированным случем, сформулированы в терминах величин $2^k$, $k\geq 0$; результаты для неориентированного случая сформулированы в терминах чисел Фибоначчи $u_k$, $k\geq 1$. Доказательства проведены на базе элементарных методов перечислительной комбинаторики.
В четвертом разделе представлены результаты, связанные с перечислением остовных лесов, необходимых для построения матрицы относительной лесной доступности неориентированного графа-гусеницы и его ориентированного аналога. Найдено общее количество остовных сходящихся лесов для ориентированного графа-гусеницы и остовных корневых лесов для неориентированного графа-гусеницы; произведен подсчет остовных сходящихся лесов, в которых вершина $i$ принадлежит дереву, сходящемуся к $j$ в ориентированном пути и цикле, и остовных корневых лесов, в которых вершина $i$ принадлежит дереву с корнем $j$ в неориентированном пути и цикле. Как и ранее, результаты, связанные с ориентированным случем, сформулированы в терминах величин $2^k$, $k\geq 0$; результаты для неориентированного случая сформулированы в терминах чисел Фибоначчи $u_k$, $k\geq 1$.
В пятом разделе представлены примеры матрицы относительной лесной доступности.
В шестом разделе (заключении) приведены основные выводы работы, намечены результаты дальнейших исследований.
In this article we consider questions of graph enumeration for some graphs of a special form. In fact, a number of new results have been proved on the number of spanning trees and spanning forests of graphs that play an important role in the applied problems of Information Theory. On the one hand, the properties of the spanning converging forests of oriented graphs involved in the construction of the mean first passage time quasi-metric, a generalized metric structure closely related to ergodic homogeneous Markov chains, are considered. On the other hand, the characteristics of spanning rooted forests and spanning converging forests of non-oriented and oriented graphs needed for the construction of a matrix of relative connectivity via forests, one of the measures of proximity of the vertices of graph structures, which plays an important role in solving of applied problems, have been studied. The consideration is based on a simple graph model, so-called caterpillar, and its oriented analogues. The other simple graph models, including oriented and non-oriented simple cycles and simple paths, where considered before.
The first section (introduction) presents the history of the problem and provides an overview of the main ideas and results presented in the article. The role of graph modelsin the presentation and study of ergodic homogeneous Markov chains is considered.The matrix of relative connectivity via forests for non-oriented and oriented graphs is defined; its role for solving important applied problems of Information Theory is disclosed.
The second section contains the basic definitions of Graph Theory necessary to formulate and prove the main results of the article. The definitions of a graph and an oriented graph, a spanning subgraph, a spanning rooted forest (for non-oriented graphs) and a spanning converging forest (for oriented graphs) are given. Some examples are represented (simple path, simple cycle, caterpillar and their oriented analogues).In the same section a number of properties of Fibonacci numbers necessary to obtain the main results of the article for the undirected case is formulated.
In the third section, two theorems on the enumeration of graphs related to the construction of the mean first passage time matrix for a homogeneous ergodic Markov chain are proved. In fact, the number of spanning converging trees for the oriented caterpillar and the number of spanning rooted trees for the non-oriented caterpillar are given; the spanning forests consisting of two trees for the same graph structures are counted. Results for the oriented case are formulated in terms of values $2^k$, $k\geq 0$; results for the non-oriented case are formulated in terms of Fibonacci numbers $u_k$, $k\geq 1$. The proofs are based on elementary methods of enumerating Combinatorics.
The fourth section presents the results related to enumeration of spanning forests needed for construction of the matrix of relative connectivity via forests for the non-oriented caterpillar and its oriented analogue. Total number of spanning converging forests (for oriented caterpillar) and total number of spanning rooted forests (for non-oriented caterpillar) are found; enumeration of the spanning converging forests, in which a vertex $i$ belongs to a tree converging to a vertex $j$ (for the oriented caterpillar), and enumeration of the spanning rooted forests, in which a vertex $i$ belongs to a tree with a root $j$ (for the non-oriented caterpillar) are represented. As before, results for the oriented case are formulated in terms of values $2^k$, $ k\geq 0$; results for the non-oriented case are formulated in terms of Fibonacci numbers $u_k$, $ k\geq 1$.
The fifth section contains the examples of the the matrix of relative connectivity via forests.
The sixth section (conclusion) presents the main conclusions of the article, outlines the ideas of further studies.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.