chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2013-14-4-38-79cheb-119Research ArticleСтатьиArticleПЛОХО ПРИБЛИЖАЕМЫЕ МАТРИЦЫ И ДИОФАНТОВЫ ЭКСПОНЕНТЫBADLY APPROXIMABLE MATRICES AND DIOPHANTINE EXPONENTSГерманО. Н.GermanO. N.Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваRussian Federation2013230620161443879Copyright © Герман О.Н., 20162016Герман О.Н.German O.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/119

Данная статья представляет собой обзор результатов о разного рода диофантовых экспонентах. Особое внимание уделяется принципу переноса и обобщению понятия плохо приближаемых чисел на матрицы и решетки.

 

This paper is a survey of results concerning different kinds of Diophantine exponents. Special attention is paid to the transference principle and to generalization of the concept of badly approximable numbers to matrices and lattices.

 

Диофантовы экспонентыпринцип переносаплохо приближаемые матрицымногомерные цепные дробиполиэдры Клейнадвойственные решеткиDiophantine exponentstransference principlebadly approximable matricesmultidimensional continued fractionsKlein polyhedradual latticesДанное исследование было частично поддержано грантом Президента РФ №MK– 5016.2012.1, грантами РФФИ № 12-01-00681, 12-01-31106, 12-01-33080, а также фондом «Династия»ReferencesApfelbeck A. A contribution to Khintchine’s principle of transfer // Czech. Math. J. 1951. Vol. 1, № 3. P. 119–147.Apfelbeck A. A contribution to Khintchine’s principle of transfer // Czech. Math. J. 1951. Vol. 1, № 3. P. 119–147.Arnold V. I. Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics. 1998. Vol. 3, № 3.Arnold V. I. Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics. 1998. Vol. 3, № 3.Arnold V. I. Preface // Amer. Math. Soc. Transl. 1999. Vol. 197, № 2. P. ix–xii.Arnold V. I. Preface // Amer. Math. Soc. Transl. 1999. Vol. 197, № 2. P. ix–xii.Arnold V. I. Continued fractions. Moscow: Moscow Center of Continuous Mathematical Education, 2002.Arnold V. I. Continued fractions. Moscow: Moscow Center of Continuous Mathematical Education, 2002.Ball K. Volumes of sections of cubes and related problems // Geometric aspects of functional analysis (1987–88). Lect. Notes in Math. 1989. Vol. 1376. P. 251– 260.Ball K. Volumes of sections of cubes and related problems // Geometric aspects of functional analysis (1987–88). Lect. Notes in Math. 1989. Vol. 1376. P. 251– 260.Bonnesen T., FenchelW. Theorie der konvexen K¨orper. Berlin: Springer, 1934.Bonnesen T., FenchelW. Theorie der konvexen K¨orper. Berlin: Springer, 1934.Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1964. 566 с.Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1964. 566 с.Bugeaud Y., Laurent M. On transfer inequalities in Diophantine approximations II // Math. Z. 2010. Vol. 265, № 2. P. 249–262.Bugeaud Y., Laurent M. On transfer inequalities in Diophantine approximations II // Math. Z. 2010. Vol. 265, № 2. P. 249–262.Cassels J.W. S. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge University Press, 1957.Cassels J.W. S. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge University Press, 1957.Cassels J.W. S., Swinnerton-Dyer H. P. F. On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1955. Vol. 248. P. 73–96.Cassels J.W. S., Swinnerton-Dyer H. P. F. On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1955. Vol. 248. P. 73–96.Dyson F. J. On simultaneous Diophantine approximations // Proc. London Math. Soc. 1947. Vol. 49, № 2. P. 409–420.Dyson F. J. On simultaneous Diophantine approximations // Proc. London Math. Soc. 1947. Vol. 49, № 2. P. 409–420.Ewald G. Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, 1996. 13. Герман О. Н. Паруса и норменные минимумы решеток // Мат. Сборник. 2005. Т. 196, №3. С. 31–60.Ewald G. Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, 1996. 13. Герман О. Н. Паруса и норменные минимумы решеток // Мат. Сборник. 2005. Т. 196, №3. С. 31–60.Герман О. Н. Полиэдры Клейна и норменные минимумы решеток // Доклады РАН. Математика. 2006. Т. 406, №3. С. 38–41.Герман О. Н. Полиэдры Клейна и норменные минимумы решеток // Доклады РАН. Математика. 2006. Т. 406, №3. С. 38–41.German O. N. Klein polyhedra and lattices with positive norm minima // Jourbal de Th´eorie des Nombres de Bordeaux. 2007. Vol. 19. P. 157–190.German O. N. Klein polyhedra and lattices with positive norm minima // Jourbal de Th´eorie des Nombres de Bordeaux. 2007. Vol. 19. P. 157–190.Герман О. Н., Лакштанов Е. Л. О многомерном обобщении теоремы Лагранжа для цепных дробей // Известия РАН. Сер. Мат. 2008. Т. 72, №1. С. 51–66.Герман О. Н., Лакштанов Е. Л. О многомерном обобщении теоремы Лагранжа для цепных дробей // Известия РАН. Сер. Мат. 2008. Т. 72, №1. С. 51–66.German O. N. Transference inequalities for multiplicative Diophantine exponents // Труды МИРАН. 2011. Т. 275. С. 216–228.German O. N. Transference inequalities for multiplicative Diophantine exponents // Труды МИРАН. 2011. Т. 275. С. 216–228.German O. N. On Diophantine exponents and Khintchine’s transference principle // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2012. Vol. 2, № 2. P. 22–51.German O. N. On Diophantine exponents and Khintchine’s transference principle // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2012. Vol. 2, № 2. P. 22–51.German O. N. Intermediate Diophantine exponents and parametric geometry of numbers // Acta Arithmetica. 2012. Vol. 154. P. 79–101.German O. N. Intermediate Diophantine exponents and parametric geometry of numbers // Acta Arithmetica. 2012. Vol. 154. P. 79–101.Gr¨unbaum B. Convex polytopes. London; New York; Sydney: Interscience Publ., 1967.Gr¨unbaum B. Convex polytopes. London; New York; Sydney: Interscience Publ., 1967.Jarn´ık V. Uber einen Satz von A. Khintchine // Prace Mat. Fiz. 1936. Vol. 43. ¨ P. 151–166.Jarn´ık V. Uber einen Satz von A. Khintchine // Prace Mat. Fiz. 1936. Vol. 43. ¨ P. 151–166.Jarn´ık V. Uber einen Satz von A. Khintchine, 2 // Acta Arithm. 1936. Vol. 2. ¨ P. 1–22.Jarn´ık V. Uber einen Satz von A. Khintchine, 2 // Acta Arithm. 1936. Vol. 2. ¨ P. 1–22.Jarn´ık V. Zum Khintchineschen “Ubertragungssatz” // Trav. Inst. Math. ¨ Tbilissi. 1938. Vol. 3. P. 193–212.Jarn´ık V. Zum Khintchineschen “Ubertragungssatz” // Trav. Inst. Math. ¨ Tbilissi. 1938. Vol. 3. P. 193–212.Khintchine A. Ya. Uber eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen. ¨ Rend. Sirc. Mat. Palermo. 50 (1926). P. 170–195.Khintchine A. Ya. Uber eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen. ¨ Rend. Sirc. Mat. Palermo. 50 (1926). P. 170–195.Khintchine A. Ya. On some applications of the method of the additional variable // UMN. 1948. Vol. 3, № 6(28). P. 188–200.Khintchine A. Ya. On some applications of the method of the additional variable // UMN. 1948. Vol. 3, № 6(28). P. 188–200.Klein F. Uber eine geometrische Auffassung der gewohnlichen Kettenbruchentwichlung // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. 1895. Vol. 3. P. 357–359.Klein F. Uber eine geometrische Auffassung der gewohnlichen Kettenbruchentwichlung // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. 1895. Vol. 3. P. 357–359.Korkina E. La p´eriodecit´e des fractions continues multidimensionnelles // C. R. Acad. Sci. Paris. S´erie I. 1994. Vol. 319. P. 777–780.Korkina E. La p´eriodecit´e des fractions continues multidimensionnelles // C. R. Acad. Sci. Paris. S´erie I. 1994. Vol. 319. P. 777–780.Korkina E. I. Two-dimensional continued fractions. The simplest examples // Proc. Steklov Math. Inst. RAS. 1995. Vol. 209. P. 143–166.Korkina E. I. Two-dimensional continued fractions. The simplest examples // Proc. Steklov Math. Inst. RAS. 1995. Vol. 209. P. 143–166.Lachaud G. Poly`edre d’Arnol’d et voile d’un cˆone simplicial: analogues du th´eor`eme de Lagrange // C. R. Acad. Sci. Paris. 1993. S´erie I. Vol. 317. P. 711–716.Lachaud G. Poly`edre d’Arnol’d et voile d’un cˆone simplicial: analogues du th´eor`eme de Lagrange // C. R. Acad. Sci. Paris. 1993. S´erie I. Vol. 317. P. 711–716.Lachaud G. Sails and Klein Polyhedra // Contemporary Mathematics. 1998. Vol. 210. P. 373–385.Lachaud G. Sails and Klein Polyhedra // Contemporary Mathematics. 1998. Vol. 210. P. 373–385.Lachaud G. Voiles et Poly`edres de Klein. Act. Sci. Ind. Hermann, 2002.Lachaud G. Voiles et Poly`edres de Klein. Act. Sci. Ind. Hermann, 2002.Laurent M. On transfer inequalities in Diophantine Approximation // “Analytic Number Theory, Essays in Honour of Klaus Roth” / eds. W.W. L. Chen, W. T. Gowers, H. Halberstam, W. M. Schmidt and R. C. Vaughan. Cambridge University Press, 2009. P. 306–314.Laurent M. On transfer inequalities in Diophantine Approximation // “Analytic Number Theory, Essays in Honour of Klaus Roth” / eds. W.W. L. Chen, W. T. Gowers, H. Halberstam, W. M. Schmidt and R. C. Vaughan. Cambridge University Press, 2009. P. 306–314.Laurent M. Exponents of Diophantine approximation in dimension two // Canad. J. Math. 2009. Vol. 61. P. 165–189.Laurent M. Exponents of Diophantine approximation in dimension two // Canad. J. Math. 2009. Vol. 61. P. 165–189.McMullen P., Shephard G. C. Convex polytopes and the upper bound conjecture. Cambridge (GB): Cambridge University Press, 1971.McMullen P., Shephard G. C. Convex polytopes and the upper bound conjecture. Cambridge (GB): Cambridge University Press, 1971.Mahler K. Ein Ubertragungsprinzip f¨ur lineare Ungleichungen // ¨ Cas. Peˇst. Mat. ˇ Fys. 1939. Vol. 68. P. 85–92.Mahler K. Ein Ubertragungsprinzip f¨ur lineare Ungleichungen // ¨ Cas. Peˇst. Mat. ˇ Fys. 1939. Vol. 68. P. 85–92.Mahler K. On a theorem of Dyson // Mat. sbornik. 1950. Vol. 26(68), № 3. P. 457–462.Mahler K. On a theorem of Dyson // Mat. sbornik. 1950. Vol. 26(68), № 3. P. 457–462.Mahler K. On compound convex bodies (I). // Proc. London Math. Soc. 1955. Vol. 5, № 3. P. 358–379.Mahler K. On compound convex bodies (I). // Proc. London Math. Soc. 1955. Vol. 5, № 3. P. 358–379.Moshchevitin N. G. Khintchine’s singular systems and their applications // UMN (to appear). Preprint available at arXiv:0912.4503v1, 2009.Moshchevitin N. G. Khintchine’s singular systems and their applications // UMN (to appear). Preprint available at arXiv:0912.4503v1, 2009.Moussafir J.-O. Convex hulls of integral points // Zapiski nauch. sem. POMI. 2000. Vol. 256.Moussafir J.-O. Convex hulls of integral points // Zapiski nauch. sem. POMI. 2000. Vol. 256.SchmidtW. M. On heights of algebraic subspaces and diophantine approximations // Annals of Math. 1967. Vol. 85, № 3. P. 430–472.SchmidtW. M. On heights of algebraic subspaces and diophantine approximations // Annals of Math. 1967. Vol. 85, № 3. P. 430–472.SchmidtW. M. Diophantine Approximation. Lecture Notes in Math. Vol. 785. Springer-Verlag, 1980.SchmidtW. M. Diophantine Approximation. Lecture Notes in Math. Vol. 785. Springer-Verlag, 1980.SchmidtW. M., Summerer L. Parametric geometry of numbers and applications // Acta Arithmetica. 2009. Vol. 140, № 1. P. 67–91.SchmidtW. M., Summerer L. Parametric geometry of numbers and applications // Acta Arithmetica. 2009. Vol. 140, № 1. P. 67–91.SchmidtW. M., Summerer L. Diophantine approximation and parametric geometry of numbers // Monat. Math. 2012. DOI: 10.1007/s00605-012-0391-z.SchmidtW. M., Summerer L. Diophantine approximation and parametric geometry of numbers // Monat. Math. 2012. DOI: 10.1007/s00605-012-0391-z.SchmidtW. M., Wang Y. A note on a transference theorem of linear forms // Sci. Sinica. 1979. Vol. 22, № 3. P. 276–280.SchmidtW. M., Wang Y. A note on a transference theorem of linear forms // Sci. Sinica. 1979. Vol. 22, № 3. P. 276–280.Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Зап. науч. семинара ЛОМИ. Т. 168. 1988.Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Зап. науч. семинара ЛОМИ. Т. 168. 1988.Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени n от n переменных при n > 3 // Зап. науч. семинара ЛОМИ. Т. 183. 1990.Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени n от n переменных при n > 3 // Зап. науч. семинара ЛОМИ. Т. 183. 1990.Tsuchinashi H. Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tohoku Math. Journal. 1983. Vol. 35. P. 607–639.Tsuchinashi H. Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tohoku Math. Journal. 1983. Vol. 35. P. 607–639.Vaaler J. D. A geometric inequality with applications to linear forms // Pacif. J. Math. 1979. Vol. 83, №2. P. 543–553.Vaaler J. D. A geometric inequality with applications to linear forms // Pacif. J. Math. 1979. Vol. 83, №2. P. 543–553.Waldschmidt M. Report on some recent advances in Diophantine approximation. Special volume in honor of Serge Lang. Springer Verlag, (to appear). Preprint available at arXiv:0908.3973v1. 2009.Waldschmidt M. Report on some recent advances in Diophantine approximation. Special volume in honor of Serge Lang. Springer Verlag, (to appear). Preprint available at arXiv:0908.3973v1. 2009.Wang Y., Yu K. A note on some metrical theorems in Diophantine approximation // Chinese Ann. Math. 1981. Vol. 2. P. 1–12.Wang Y., Yu K. A note on some metrical theorems in Diophantine approximation // Chinese Ann. Math. 1981. Vol. 2. P. 1–12.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.