chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-5-129-137cheb-1187Research ArticleСтатьиArticleО числе примитивных неассоциированных матриц третьего порядка заданного определителяThe number of primitive unassociated third-order matrices of a given determinantДоховРезуан АуесовичDokhovRezuan Auesovich

 кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

rezuan.dokhov@yandex.ruПачевУрусби МухамедовичPachevUrusbi Mukhamedovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

urusbi@rambler.ruСеверо-Кавказский центр математических исследований; Северо-Кавказский федеральный университет (г. Ставрополь)РоссияNorth Caucasus Center for Mathematical Research; North Caucasus Federal University (Stavropol)Russian FederationКабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова (г. Нальчик); Северо-Кавказский центр математических исследований; Северо-Кавказский федеральный университет(г. Ставрополь)РоссияKabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov (Nalchik); North Caucasus Center for Mathematical Research; North Caucasus Federal University (Stavropol)Russian Federation202118012022225129137Copyright © Дохов Р.А., Пачев У.М., 20212021Дохов Р.А., Пачев У.М.Dokhov R.A., Pachev U.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1187

При изучении вопросов асимптотического распределения целых точек по областям на гиперболоидах, а также целочисленных матриц второго и третьего порядков возникает необходимость использования примитивных неассоциированных матриц второго и третьего порядков заданного определителя. Подсчет количества целых матриц одного и того же порядка и заданного определителя требует выделения среди них попарно неассоциированных матриц. Неассоциированные матрицы второго порядка появляются при рассмотрении предварительных эргодических теорем для потоков целых точек на гиперболоидах при применении дискретного эргодического метода к вопросу представления целых чисел тернарными квадратичными формами. Через количество неассоциированных матриц второго порядка выражается также число бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное целое число. Кроме того, формулы для числа примитивных неассоциированных матриц второго и третьего порядков позволяют определить порядки главных членов в асимптотических формулах для числа целых матриц боль-шой нормы. В данной работе опираясь на канонический треугольный вид целых матриц третьего порядка получена формула для числа примитивных неассоциированных матрицтретьего порядка заданного определителя, представленного каноническим разложением.Получена также формула и для числа примитивных неассоциированных матриц третьего порядка заданного определителя, делящихся на заданную матрицу. Основные результаты, связанные с вопросом о числе неассоциированных целых матриц заданного определителяпринадлежат Линнику Ю. В., Скубенко Б. Ф., Малышеву А. В. и авторам данной работы, результаты которой могут быть в дальнейшем перенесены на целочисленные матрицылюбого порядка.

When studying questions of the asymptotic distribution of integer points over domains on hyperboloids, as well as integer matrices of the second and third orders, it becomes necessaryto use primitive unassociated matrices of the second and third orders of a given determinant.Counting the number of integer matrices of the same order and a given determinant requires the selection of pairwise unassociated matrices among them. Non-associated second-order matrices appear when considering preliminary ergodic theorems for flows of integer points on hyperboloids when applying the discrete ergodic method to the problem of representing integers by ternary quadratic forms. The number of unassociated second-order matrices is also used to express the number of binary quadratic forms, the arithmetic minimum of which is divisible. In addition, formulas for the number of primitive unassociated matrices of the second and third orders make it possible to determine the orders of the principal terms in asymptotic formulas for the number of integer matrices of large norm(determinant). In this paper, based on the canonical triangular form of the third-order integer matrices, a formula is obtained for the number of primitive unassociated third-order matrices represented by the canonical decomposition. A formula is also obtained for the number of primitive unassociated matrices of the third order of a given determinant, divisible by a given matrix. The main results related to the question of the number of non-associated integer matrices of a given determinant belong to Yu. V. Linnik, B. F. Skubenko, A.V. Malyshev and the authors of this work, the results of which can be further transferred to integer matrices of any order.

целочисленная (целая) матрицаделимость матрицпримитивная матрицанеассоциированные справа (слева) матрицы.integer matrixdivisibility of matricesprimitive matrixnon-associated right (left) matrices.Работа выполнена в Северо-Кавказском центре математических исследований в рамках соглашения № 075- 02-2021-1749 с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации.ReferencesЛинник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. // Л.: Издательство Ленинградского университета. 1967. 210 c.Linnik, Y. V. 1967, “Ergodic properties of algebraic fields“, Leningrad, Leningrad University Press, 210 p.Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Исследования по теории чисел. 6, Зап. научн. сем. ЛОМИ, Т. 93, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л. 1980. C. 41-86, DOI: 10.1007/BF01085126Malyshev, A. V., & Pachev, U. M. 1982, “Arithmetic of second-order matrices“, J Math Sci, vol. 19, pp. 1096-1122, DOI: 10.1007/BF01085126.Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Исследования по теории чисел. 6, Зап. научн. сем. ЛОМИ, Т. 93, Изд-во «Наука»,Pachev, U. M. 1982, “Distribution of integral points on certain two-sheeted hyperboloids“ J Math Sci vol. 19, pp. 1122-1155, DOI: 10.1007/BF01085127.Ленинград. отд., Л. 1980. С. 87–141, DOI: 0.1007/BF01085127Pachev, U. M. 2003, “On the number of reduced integer indefinite binary quadratic forms with the condition of divisibility of the first coefficients“, Chebyshevskij sbornik, vol. 4, no. 3, pp. 92- 105.Пачев У. М. О числе приведенных целочисленных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Чебышевский сб. 2003. Т. 4, № 3. С. 92–105.Pachev, U. M. 2006, “Representation of integers by isotropic ternary quadratic forms“, Izv. Math., vol. 70, no. 3, pp. 587-604, DOI: 10.4213/im676Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70, № 3. С.167–184, DOI: 10.4213/im676Pachev, U. M. 2007, “On the asymptotics of the number of reduced integer binary quadratic forms with the condition of divisibility of the first coefficients“, Siberian Math. J., vol. 48, no. 2, pp. 300-310, DOI: 10.1007/s11202-007-0031-3Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48, № 2.Pachev, U. M. 2015, “On the number of primitive unassociated matrices of the second order of the determinant n, divisible by a given matrix“, Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 17,C. 376–388, DOI: 10.1007/s11202-007-0031-3no. 2. pp. 62-67.Пачев У. М. О числе примитивных неассоциированных матриц второго порядка определителя n, делящихся на заданную матрицу // Владикавк. матем. журн. 2015. Т. 17, № 2. С. 62–67.Pachev, U. M. 2008, “On the arithmetic of the ring of integer matrices of the 𝑛-th order“, Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 10, no. 1, pp. 75-78.Пачев У. М. Об арифметике кольца целых матриц 𝑛-го порядка // Владикавказский математический журнал 2008. Т. 10, № 1. C. 75 78.Pachev, U. M. & Dohov, R. A. 2019, “About primitive unassociated third-order matrix of a given determinant“, Materials of the XVII International Conference "Algebra, number Theory and Discrete Geometry: modern problems, applications and problems of history dedicated to the 100th anniversary of the birth of Professor N. I. Feldman and the 90th anniversary of the birth of Professors A. I. Vinogradov, A.V. Malyshev and B. F. Skubenko, Tula: Izdatel’stvo TGPU im. L.N. Tolstogo, pp. 121-123.Пачев У. М., Дохов Р. А. О примитивных неассоциированных матрицах третьего поряд-Linnik, Yu. V. & Skubenko, B. F. 1962, “The asymptotic behavior of third-order integralmatrices“, Sov. Math. Dokl., no. 3, pp. 1428-1430ка заданного определителя // Материалы XVII Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории посвященной 100-летию со для рождения профессора Н.И. Фельдмана и 90-летиюLinnik, Yu. V.; Skubenko, B. F. 1964, “Asymptotic distribution of third-order integer matrices“, Vestnik Leningradskogo universiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Astronomiya, no. 13, pp. 26- 36.со дня рождения профессоров А.И. Виноградова, А.В. Малышева и Б.Ф. Скубенко. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2019. C. 121–123.Pachev, U. M., Shakova, T. A. 2019, “On the units of the quaternion order of an indefinite anisotropic ternary quadratic form“, Chebyshevskij sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 270-280, DOI:Линник Ю.В., Скубенко Б. Ф. К асимптотике целочисленных матриц третьего порядка // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 5. С. 1007–1008.22405/2226-8383-2018-20-4-270-280Линник Ю.В., Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целочисленных матриц третьего порядка // Вестн. ЛГУ: Сер. Матем. Мех. Астрон. 1964. № 13. С. 26–36.Newman M. 1972, “Integral matrices“, New York: Academic Press, 244 p.Пачев У. М., Шакова Т.А. О единицах кватернионного порядка неопределённой анизотропной тернарной квадратичной формы, Чебышевский сб. 2019. Т. 20, № 4. С. 270–280,Venkov, B. A. 1952, “On the integral invariant of the group of unimodular linear substitutions“, Uchenye zapiski Leningradskogo universiteta, vol. 144, no. 23, pp. 3-25.DOI: 10.22405/2226-8383-2018-20-4-270-280Vinogradov, I. M. 1981, “Elements of number theory“, Moscow: Nauka, 180 p.Newman M. Integral matrices. Academic Press, New York, 1972, 244 p.Sidorov, S. V. 2016, “On similarity classes of second-order matrices with zero trace over the ring of integers“, Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Matematika, no. 4, pp. 79-86, DOI:Венков Б.А. Об интегральном инварианте группы унимодулярных линейных подстановок // Учен. зап. Ленинг. ун-та. 1952. Т. 144, № 23. С. 3–25.3103/S1066369X16040101Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981. 180 с.Sidorov, S. V. 2009, “On the similarity of third-order matrices over the ring of integers having a reducible characteristic polynomial“, Vestn. NNGU.: Ser. matem. modelir. i optimal’noeСидоров С. В. О классах подобия матриц второго порядка с нулевым следом над кольцом целых чисел // Изв. вузов. Матем. 2016. № 4. С. 79–86, DOI: 10.3103/S1066369X16040101upravlenie, no. 1, pp. 119-127.Сидоров С. В. О подобии матриц третьего порядка над кольцом целых чисел, имеющих приводимый характеристический многочлен // Вестн. ННГУ.: Сер. матем. моделир. и оптимального управления. 2009. № 1, С. 119–127.Сидоров С. В. О подобии матриц третьего порядка над кольцом целых чисел, имеющих приводимый характеристический многочлен // Вестн. ННГУ.: Сер. матем. моделир. и оптимального управления. 2009. № 1, С. 119–127.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.