доктор физико-математических наук, доцент
doctor of physical and mathematical sciences, associate professor
Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно.Каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид
$$𝜆 =∞Σ︁𝑛=0𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.$$
Этот ряд сходится в любом поле 𝑝− адических чисел Q𝑝 .Будем называть полиадическое число 𝜆 полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 выполнено неравенство
$$|𝜆 − 𝐴|𝑝 < 𝐴−𝑛.$$
Обозначим, для натурального 𝑚
$$Φ(𝑘,𝑚) = 𝑘^𝑘^(...)^𝑘$$
результат последовательного 𝑚− кратного возведения в степень. Пусть
$$𝑛𝑚 = Φ(𝑘,𝑚)$$
и пусть
$$𝛼 =∞Σ︁𝑚=0(𝑛𝑚)!.$$
Теорема 1. Для любого натурального числа 𝑘 ≥ 2 и любого простого числа 𝑝 ряд 𝛼 сходится к трансцендентному элементу кольца Z𝑝. Иными словами, полиадическое число𝛼 глобально трансцендентное.
We study here polyadic Liouville numbers, which are involved in a series of recent papers. The canonic expansion of a polyadic number 𝜆 is of the form
$$𝜆 =∞Σ︁𝑛=0𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.$$
This series converges in any field of 𝑝− adic numbers Q𝑝 .We call a polyadic number 𝜆 a polyadic Liouville number, if for any 𝑛 and 𝑃 there exists a positive integer 𝐴 such that for all primes 𝑝 ,satisfying 𝑝 ≤ 𝑃 the inequality
$$|𝜆 − 𝐴|𝑝 < 𝐴^(−𝑛)$$
holds.Let 𝑘 ≥ 2 be a positive integer. We denote for a positive integer 𝑚
$$Φ(𝑘,𝑚) = 𝑘^𝑘^(...)^𝑘$$
Let
$$𝑛𝑚 = Φ(𝑘,𝑚)$$
and let
$$𝛼 =∞Σ︁𝑚=0(𝑛𝑚)!.$$
Theorem 1. For any positive integer 𝑘 ≥ 2 and any prime number 𝑝 the series 𝛼 converges to a transcendental element of the ring Z𝑝. In other words, the polyadic number 𝛼 is globally transcendental.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.