chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-5-198-222cheb-1164Research ArticleСтатьиArticleО средних значениях функций Чебышёва и их приложенияхOn the mean values of the Chebyshev function and their applicationsРахмоновЗарулло ХусеновичRakhmonovZarullo Khusenovich

доктор физико-математических наук, профессор, академик 

doctor of physical and mathematical sciences, professor,academician

zarullo-r@rambler.ruНозировОпокхон ОкилхоновичNozirovOpokkhon Okilkhonovichnozirov92@inbox.ruНАН Таджикистана, Институт математики им. А. ДжураеваУзбекистанNational Academy of Sciences of Tajikistan, A. Dzhuraev Institute of MathematicsUzbekistanИнститут математики им. А. ДжураеваУзбекистанA. Dzhuraev Institute of MathematicsUzbekistan202118012022225198222Copyright © Рахмонов З.Х., Нозиров О.О., 20212021Рахмонов З.Х., Нозиров О.О.Rakhmonov Z.K., Nozirov O.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1164

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для средних значений функций Чебышёва по всем характерам модуля 𝑞 имеет место оценка

$$𝑡(𝑥; 𝑞) =Σ︁𝜒mod𝑞max𝑦≤𝑥|𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥 + 𝑥1/2𝑞L2, L = ln 𝑥𝑞$$.При решении ряда задач теории простых чисел достаточно, чтобы для 𝑡(𝑥; 𝑞) имелась оценка, близкая к этой оценке. Лучшие оценки для 𝑡(𝑥; 𝑞) ранее принадлежали Г. Монтгомери, Р. Вону и З. Х. Рахмонову. В работе получена новая оценка вида$$𝑡(𝑥; 𝑞) = Σ︁ 𝜒mod𝑞 max 𝑦≤𝑥 |𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥L^28 + 𝑥^(4/5) 𝑞^(1/2)L^31 + 𝑥^(1/2)𝑞L^32$$,с помощью которой для линейной тригонометрической суммы с простыми числами при $$|𝑎-a/q|<1/q^2,   (a,q)=1$$, найдена более точная оценка$$𝑆(𝛼, 𝑥) ≪ 𝑥𝑞^(−1/2)L^33 + 𝑥^(4/5)L^32 + 𝑥^(1/2)𝑞^(1/2)L^33$$,а также изучено распределение чисел Харди-Литтлвуда вида 𝑝 + 𝑛2 в коротких арифметических прогрессиях в случае, когда разность прогрессии является степенью простогочисла.

Assuming the validity of the extended Riemann hypothesis for the average values of Chebyshev functions over all characters modulo 𝑞, the following estimate holds

$$𝑡(𝑥; 𝑞) =Σ︁𝜒mod𝑞max𝑦≤𝑥|𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥 + 𝑥1/2𝑞L2, L = ln 𝑥𝑞$$.When solving a number of problems in prime number theory, it is sufficient that 𝑡(𝑥; 𝑞) admits an estimate close to this one. The best known estimates for 𝑡(𝑥; 𝑞) previously belonged toG. Montgomery, R. Vaughn, and Z. Kh. Rakhmonov. In this paper we obtain a new estimate of the form$$𝑡(𝑥; 𝑞) = Σ︁ 𝜒mod𝑞 max 𝑦≤𝑥 |𝜓(𝑦, 𝜒)| ≪ 𝑥L^28 + 𝑥^(4/5) 𝑞^(1/2)L^31 + 𝑥^(1/2)𝑞L^32$$,using which for a linear exponential sum with primes we prove a stronger estimate $$𝑆(𝛼, 𝑥) ≪ 𝑥𝑞^(−1/2)L^33 + 𝑥^(4/5)L^32 + 𝑥^(1/2)𝑞^(1/2)L^33$$, when $$|𝑎-a/q|<1/q^2,   (a,q)=1$$.We also study the distribution of Hardy-Littlewood numbers ofthe form 𝑝+𝑛2 in short arithmetic progressions in the case when the difference of the progression is a power of the prime number.

характер Дирихлефункция Чебышёватригонометрические суммы с простыми числамичисла Харди-ЛиттлвудаReferencesЛинник Ю. В. Избранные труды — Ленинград. Наука, 1980.Linnik, U. V., 1980, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Leningrad, Nauka.Линник Ю. В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Мат.сборник, 1946, T. 19, Вып. I, С. 3 – 8.Linnik, U. V., 1946, “A new proof of the Goldbach–Vinogradow theorem”, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., vol. 19(61), Is. 1, pp. 3–8.Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории чисел // Докл. АН СССР, 1945, Т. 49, № 1, С. 3 – 7.Linnik, U. V., 1945, “On the possibility of a unique method in certain problems of ’additive’ and ’distributive’ prime number theory”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 49, Is. 1, pp. 3–7.Линник Ю. В. О густоте нулей 𝐿 – рядов // Изв. АН СССР.сер. матем.1946. T. 10, № 1, С. 35 – 46.Linnik, U. V., 1946, “On the density of the zeros of 𝐿-series”, Bull. Acad. Sci. URSS. S´er. Math. [Izvestia Akad. Nauk SSSR], vol. 10, Is. 1, pp. 35–46.Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Доклады АН СССР. 1970. Т. 192. № 4. С. 724 — 727.Karatsuba A. A., 1970, “The distribution of products of shifted prime numbers in arithmetic progressions”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 192, Is. 4, pp. 724–727.Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел — М.: изд-во Мир, 1974.Montgomery, H., 1971, Topics in Multiplicative Number Theory, vol. 227. Springer-Verlag, Berlin-New York.Vaughan R. Mean value theorems in prime number theory // J. London Math. Soc. (2), 10(1975), 153 – 162.Vaughan, R. O., 1975, “Mean value theorems in prime number theory”, J.London Math. Soc., vol. s2-10, Is. 2, pp. 153-162, https://doi.org/10.1112/jlms/s2-10.2.153Рахмонов З. Х. Распределение чисел Харди Литтвлуда в арифметических прогрессиях // Известия АН СССР. Серия математическая. 1989. Т. 52, № 1. С. 211 – 224.Rakhmonov, Z. Kh., 1990, “The distribution of Hardy–Littlewood numbers in arithmetic progressions”, Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol. 34, Is. 1, pp. 213-228,Рахмонов З. Х. Теорема о среднем значении 𝜓(𝑥, 𝜒) и ее приложения // Известия Российской Академии наук. Серия математическая. 1993. T. 57, № 4. С. 55 – 71.http://dx.doi.org/10.1070/IM1990v034n01ABEH000621.Рахмонов З. Х. Средние значения функции Чебышева // Доклады Российской Академии наук. 1993. T. 331. № 3. C. 281 – 282.Rakhmonov, Z. Kh., 1994, “Theorem on the mean value of 𝜓(𝑥, 𝜒) and its applications”, Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, vol. 43, Is. 1, pp. 49–64. doi.org/10.1070Виноградов И. М. Избранные труды — М: изд-во АН СССР. 1952./IM1994v043n01ABEH001558.Чудаков Н. Г. On Goldbach-Vinogradov‘s theorem // Annals of Mathematics. Second Series. 1947. T. 48. C. 515 – 545.Rakhmonov, Z. Kh., 1994, “Mean values of the Chebyshev function”, Russ. Acad. Sci., Dokl., Math., vol. 48, Is. 1, pp. 85-87. http://www.zentralblatt-math.org/zmath/search/?an=ZblЧудаков Н. Г. Введение в теорию 𝐿-функций Дирихле // Москва – Ленинград. 1947.11030гос.изд-во технико-теоретической литературы. 204 с.Vinogradov, I. M., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow.Hardy G. H., Littlwood I. E. Some problems of partitio numerorum III. On the expression of number as a sum of primes // Acta Math. 1923. V. 44. pp. 1–70.Tchudakoff N., 1947, “On Goldbach-Vinogradov‘s theorem”, Annals of Mathematics. Second Series, vol. 1947, pp. 515-545.Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to theory of numbers — Oxford at the clarendon press. 1954.Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of Dirichlet 𝐿-functions, OGIZ, Moscow–Leningrad.Бабаев Г. Замечание к работе Дэвенпорта и Хейлброна // УМН. 1958. Т. 13. В. 6(84). С. 63 – 64.Hardy G.H., &, Littlwood I.E., 1923, “Some problems of partitio numerorum III. On the expression of number as a sum of primes”, Acta Math., vol. 44, pp. 1-70.Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Труды МИАН. 1994. Т. 207. С. 286 – 296.Hardy, G. H., & Wright, E. M., 1954, An introduction to theory of numbers, 3rd ed. Oxford, at the Clarendon Press.Weil A. On Some Exponential Sums // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1948. vol. 34, Is. 5, pp. 204 — 207. doi: 10.1073/pnas.34.5.204.Babaev, G., 1958, “Remark on a paper of Davenport and Heilbronn”, Uspehi Mat. Nauk, vol. 13, Is. 6(84), pp. 63–64.Cochrane T. Exponential sums modulo prime powers // Acta Arithmetica. 2002. vol. 101. pp. 131 – 149. doi:10.4064/aa101-2-5Rakhmonov, Z. Kh., 1995, “On the distribution of the values of Dirichlet characters and their applications”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, pp. 263–272.Исмоилов Д. Оценка суммы характеров от многочленов // Доклады АН Тадж. ССР. 1986. Т. 29. № 10. С. 567 – 571.Weil, A., 1948, “On Some Exponential Sums”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., vol. 34, Is. 5, pp. 204 — 207. doi: 10.1073/pnas.34.5.204.Исмоилов Д. Оценка суммы характеров от рациональных функций // Доклады АН Тадж. ССР. 1986. Т. 29. № 11. С. 635 – 639.Cochrane, T. 2002, “Exponential sums modulo prime powers”, Acta Arithmetica, vol. 101. pp. 131 – 149. doi:10.4064/aa101-2-5.Исмоилов Д. Об оценках снизу сумм характеров о т многочленов по составному модулю // Доклады АН Тадж. ССР. 1990. Т. 33. № 8. С. 501 – 505.Ismoilov D, 1986, “Estimate of a character sum of polynomials”, Dokl. Acad. Nauk Tadjhik SSR, vol. 29, no 10, pp. 567-571. (Russian).Исмоилов Д. Оценки полных сумм характеров от многочленов // Труды МИАН. 1991. Т. 200. С. 171 – 186.1Ismoilov D., 1986, “Estimate of a character sum of rational functions”, Dokl. Acad. Nauk Tadjhik SSR, vol. 29, no 11, pp. 635-639. (Russian).Ismoilov D. A lower bound estimate for complete sums of characters of polynomials and rational functions // Acta Math. Sinica, New Series. 1993. Vol. 9. pp. 90-99.Ismoilov D., 1990, “Lower bounds on character sums of polynomials with respect to a composite modulus”, Dokl. Acad. Nauk Tadzhik SSR, vol. 33, no 8, pp. 501-505. (Russian).Исмоилов Д. Оценки полных тригонометрических сумм // Труды МИАН. 1994. Т. 207. С. 153 -– 171.Ismoilov D., 1991, “Estimates of complete character sums of polynomials”, Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 200, pp. 171-186, (Russian); English transl. in Proc. Steklov Inst. Math. 200 (1993), 189-203.Постников А.Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Известия АН СССР. Серия математическая. 1955. Т. 19. № 1. C. 11 — 16.Ismoilov D., 1993, “A lower bound estimate for complete sums of characters of polynomials and rational functions”, Acta Math. Sinica, New Series, vol. 9, pp. 90-99.Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // Доклады АН СССР. 1939. Т. 22. № 7. С. 391 – 393.Ismoilov D., 1991, “Estimates for complete trigonometric sums”, Number Theory and Analysis, Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 207, pp. 153-171, (Russian); English transl. in Proc. Steklov Inst. Math. 207 (1995), 137-153.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 2-ое изд, М.: Наука, 1983.Postnikov A. G., 1955, “On a character sum modulo a prime power of a prime”, Izv. Acad. Nauk SSR, ser. Mathem., vol. 19, no 1, pp. 11 – 16. (Russian)Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.Mardjhanashvili K. K., “An estimate for an arithmetic sum”, Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, Is. 7, pp. 391–393.Heath-Brown D. R. Prime numbers in short intervals and a generalized Vaughan identity // Canad. J. Math. 34, 1982, 1365 – 1377.Karatsuba A. A., 1993, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, Berlin, xiv+222 pp.Prachar K., 1957, Primzahlverteilung, Springer-Verlag.Prachar K., 1957, Primzahlverteilung, Springer-Verlag.Heath-Brown D. R., 1982, “Prime numbers in short intervals and a generalized Vaughan identity”, Canad. J. Math., vol. 34, pp. 1365-1377.Heath-Brown D. R., 1982, “Prime numbers in short intervals and a generalized Vaughan identity”, Canad. J. Math., vol. 34, pp. 1365-1377.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.