Развивается теория операционного исчисления Лапласа на основе дифференциального оператора с кусочно-постоянными коэффициентами. Предложена формула обобщенного преобразования Лапласа. Доказана формула обращения типа Меллина–Лапласа. Предложено понятие обобщенного оригинала и обобщенного изображения. Доказана теорема об изоморфизме пространств оригиналов и обобщенных оригиналов.При помощи операторовпреобразования установлено, что обобщенное изображение обобщенного оригинала совпадает с изображением соответствующего оригинала. Доказаны теоремы о дифференцировании и интегрировании обобщенного оригинала, теоремы об однородности, о подобии,экспоненциальном шкалировании, запаздывания и другие. В терминах оператора преобразования установлена связь свертки обобщенных оригиналов и соответствующей им свертки оригиналов. Представлен алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами. Найдено решение уравнения теплопроводности с кусочно постоянным коэффициентом при производной по времени на действительнойоси. Решена смешанная краевая задача для уравнения теплопроводности с кусочно постоянным коэффициентом при производной по времени на действительной полуоси.
The theory of operational calculus is developed on the basis of a differential operator with piecewise constant coefficients. A formula for the generalized Laplace transform is proposed.An inversion formula of Mellin-Laplace type is proved. The concept of a generalized originalfunction and a generalized image is proposed. A theorem on the isomorphism of the spaces of originals and generalized originals is proved. Using transmutation operators, it is established that the generalized Laplace transform of the generalized original coincides with the Laplace transform of the corresponding original-function. Theorems on differentiation and integration of the generalized original, theorems on homogeneity, similarity, exponential scaling, first and second shifting theorems, and others are proved. In terms of the transmutation operator, aconnection between the convolution of generalized original-functions and the corresponding convolution of original-functions is established. An algorithm for solving linear differential equations with piecewise constant coefficients is presented. A solution to the heat equation with a piecewise constant coefficient at the time derivative on the real axis is found. A mixed boundary value problem for the heat equation with a piecewise constant coefficient at the time derivative on the real semiaxis is solved.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.