кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В данной работе рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определённых функций на R, носитель которых содержит-ся в отрезке [−𝜎, 𝜎], 𝜎 > 0, а значение в нуле фиксировано (класс F𝜎).Мы рассматриваем следующую задачу. Пусть 𝜇 – линейный локально ограниченный функционал на множестве финитных непрерывных функций 𝐶𝑐(R), принимающий вещественные значения на множествах F𝜎, 𝜎 > 0. При фиксированном 𝜎 > 0 требуется найти следующие величины:𝑀(𝜇, 𝜎) := sup {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} , 𝑚(𝜇, 𝜎) := inf {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} .Нами получено общее решение данной задачи для линейных функционалов следующего вида 𝜇(𝜙) = ∫︀ R 𝜙(𝑥)𝜌(𝑥)𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐(R), где 𝜌 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐(R) и 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥) для п. в. 𝑥 ∈ R. Если𝜌(𝑥) ≡ 1, то величина 𝑀(𝜇, 𝜎) была найдена Зигелем в 1935 году и независимо Боасом и Кацом в 1945 году. В данной работе найдены явные решения рассматриваемой задачи вследующих случаях: 𝜌(𝑥) = 𝑖𝑥, 𝜌(𝑥) = 𝑥2 и 𝜌(𝑥) = 𝑖 sign 𝑥, 𝑥 ∈ R.Кроме того, в данной работе изучается связь между рассматриваемой задачей и точечными неравенствами для производных целых функций экспоненциального типа 6 𝜎,сужения на R которых принадлежат 𝐿1(R). В частности, получены точные неравенства для первой и второй производных таких функций.
In this paper we consider an extremal problem related to a set of continuous positive definite functions on R whose support is contained in the closed interval [−𝜎, 𝜎], 𝜎 > 0 and the valueat the origin is fixed (the class F𝜎).We consider the following problem. Let 𝜇 be a linear locally bounded functional on the set of continuous functions which have compact support, i.e. 𝐶𝑐(R) and suppose that 𝜇 is real-valued functional on the sets F𝜎, 𝜎 > 0. For a fixed 𝜎 > 0, it is required to find the following constants:𝑀(𝜇, 𝜎) := sup {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} , 𝑚(𝜇, 𝜎) := inf {𝜇(𝜙) : 𝜙 ∈ F𝜎} .We have obtained a general solution to this problem for functionals of the following form 𝜇(𝜙) = ∫︀ R 𝜙(𝑥)𝜌(𝑥)𝑑𝑥, 𝜙 ∈ 𝐶𝑐(R), where 𝜌 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐(R) and 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥) a.e. on 𝑥 ∈ R.For 𝜌(𝑥) ≡ 1, the value of 𝑀(𝜇, 𝜎) was obtained by Siegel in 1935 and, independently, by Boas and Kac in 1945. In this article, we have obtained explicit solution to the problem under consideration in cases of 𝜌(𝑥) = 𝑖𝑥, 𝜌(𝑥) = 𝑥2 and 𝜌(𝑥) = 𝑖 sign 𝑥, 𝑥 ∈ R.In addition, in this paper we study the connection between the problem under consideration and pointwise inequalities for entire functions of exponential type 6 𝜎 whose restrictions on Rare in 𝐿1(R). In particular, sharp inequalities are obtained for the first and second derivatives of such functions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.