доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
Классические неравенства Бернштейна — Никольского вида ‖𝐷𝑓‖𝑞 6 𝒞𝑝𝑞‖𝑓‖𝑝 для 𝑓 ∈ 𝑌 , дают оценки 𝑝𝑞-норм дифференциальных операторов 𝐷 на классах 𝑌 полиномови целых функций экспоненциального типа. Данные неравенства играют важную роль в гармоническом анализе, теории приближений и находят приложения в теории чисел, метрической геометрии. Изучаются как порядковые неравенства, так и неравенства с точными константами. Последний случай особенно интересен тем, что экстремальные функции зависят от геометрии многообразия и этот факт помогает при решении геометрических проблем.Исторически неравенства Бернштейна относят к случаю 𝑝 = 𝑞, а неравенства Никольского — к оценке тождественного оператора при 𝑝 < 𝑞. Впервые оценка производнойтригонометрического полинома при 𝑝 = ∞ была дана С.Н. Бернштейном (1912), хотя ранее А.А. Марков (1889) привел ее алгебраический вариант. Неравенство Бернштейнауточнялось Э. Ландау, М. Риссом, а А. Зигмунд (1933) доказал его для всех 𝑝 > 1. При 𝑝 < 1 порядковое неравенство Бернштейна нашли В.И. Иванов (1975), Э.А. Стороженко,В.Г. Кротов и П. Освальд (1975), а точное неравенство — В.В. Арестов (1981). Для целых функций экспоненциального типа точное неравенство Бернштейна доказали Н.И. Ахиезер,Б.Я. Левин (𝑝 > 1, 1957), Q.I. Rahman и G. Schmeisser (𝑝 < 1, 1990).Первые одномерные неравенства Никольского при 𝑞 = ∞ установлены Д. Джексон (1933) для тригонометрических полиномов и J. Korevaar (1949) для целых функций экспоненциального типа. Во всей общности для 𝑞 6 ∞ и 𝑑-мерного пространства это было сделано С.М. Никольским (1951). Оценки констант Никольского уточнялись И.И. Ибра-гимовым (1959), D. Amir и Z. Ziegler (1976), R.J. Nessel и G. Wilmes (1978) и многими другими. Порядковые неравенства Бернштейна — Никольского для разных интерваловизучала Н.К. Бари (1954). Варианты неравенств для общих мультипликаторных дифференциальных операторов и весовых многообразий можно найти в работах П.И. Лизоркина (1965), А.И. Камзолова (1984), А.Г. Бабенко (1992), А.И. Козко (1998), К.В. Руновского и H.-J. Schmeisser (2001), F. Dai и Y. Xu (2013), В.В. Арестова и П.Ю. Глазыриной (2014) идругих авторов.Долгое время теория неравенств Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа развивалась параллельно пока E. Levin и D. Lubinsky(2015) не установили, что при всех 𝑝 > 0 константа Никольского для функций является пределом тригонометрических констант. Для констант Бернштейна — Никольского этот факт доказан М.И. Ганзбургом и С.Ю. Тихоновым (2017) и уточнен автором совместнос И.А. Мартьяновым (2018, 2019). Многомерные результаты типа Левина — Любинского доказаны автором совместно с F. Dai и С.Ю. Тихоновым (сфера, 2020), М.И. Ганзбургом(тор, 2019 и куб, 2021).
До сих пор точные константы Никольского известны только при (𝑝, 𝑞) = (2,∞). Интригующим является случай константы Никольского для 𝑝 = 1. Продвижение в даннойпроблематике получено Я.Л. Геронимусом (1938), С.Б. Стечкиным (1961), Л.В. Тайковым (1965), L. H¨ormander и B. Bernhardsson (1993), Н.Н. Андреевым, С.В. Конягиным иА.Ю. Поповым (1996), автором (2005), автором и И.А. Мартьяновым (2018), И.Е. Симоновым и П.Ю. Глазыриной (2015). E. Carneiro, M.B. Milinovich и K. Soundararajan (2019)указали приложения в теории дзета-функции Римана. В.В. Арестов, М.В. Дейкалова и их соавторы (2016, 2018) охарактеризовали экстремальные полиномы для общих весовых констант Никольского, применяя двойственность. Здесь у истоков стояли С.Н. Бернштейн, Л.В. Тайков (1965, 1993) и другие.Новым направлением является доказательство точных неравенств Никольского на классах функций с ограничениями. Здесь обнаруживается связь с экстремальными задачами гармонического анализа Турана, Дельсарта, принципа неопределенности J. Bourgain,L. Clozel и J.-P. Kahane (2010) и другими. Например, автором с соавторами (2020) показано, что точная константа Никольского для неотрицательных сферических полиномовдает оценку сферических дизайнов P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977). Варианты задач для функций приводят к знаменитым оценкам плотности сферической упаковки,а порядковые результаты тесно связаны с неравенствами Фурье.Данные результаты излагаются в рамках общей теории неравенств Бернштейна — Никольского, приводятся приложения в теории приближений, теории чисел, метрической геометрии, предлагаются открытые проблемы.
The classical Bernstein–Nikolskii inequalities of the form ‖𝐷𝑓‖𝑞 6 𝒞𝑝𝑞‖𝑓‖𝑝 for 𝑓 ∈ 𝑌 , give estimates for the 𝑝𝑞-norms of the differential operators 𝐷 on classes 𝑌 of polynomials andentire functions of exponential type. These inequalities play an important role in harmonic analysis, approximation theory and find applications in number theory and metric geometry.Both order inequalities and inequalities with sharp constants are studied. The last case is especially interesting because the extremal functions depend on the geometry of the manifoldand this fact helps in solving geometric problems.
Historically, Bernstein’s inequalities are referred to the case 𝑝 = 𝑞, and Nikolskii’s inequalities to the estimate of the identity operator for 𝑝 < 𝑞. For the first time, an estimate for the derivative of a trigonometric polynomial for 𝑝 = ∞ was given by S.N. Bernstein (1912), although earlier A.A. Markov (1889) gave its algebraic version. Bernstein’s inequality was refined by E. Landau,M. Riess, and A. Sigmund (1933) proved it for all 𝑝 > 1. For 𝑝 < 1, the Bernstein order inequality was found by V.I. Ivanov (1975), E.A. Storozhenko, V.G. Krotov and P. Oswald (1975), and the sharp inequality by V.V. Arestov (1981). For entire functions of exponential type, the sharp Bernstein inequality was proved by N.I. Akhiezer, B.Ya. Levin (𝑝 > 1, 1957), Q.I. Rahman and G. Schmeisser (𝑝 < 1, 1990).The first one-dimensional Nikolskii inequalities for 𝑞 = ∞ were established by D. Jackson (1933) for trigonometric polynomials and J. Korevaar (1949) for entire functions of exponentialtype. In all generality for 𝑞 6 ∞ and 𝑑-dimensional space, this was done by S.M. Nikolskii (1951). The estimates of Nikolskii constants were refined by I.I. Ibragimov (1959), D. Amir andZ. Ziegler (1976), R.J. Nessel and G. Wilmes (1978), and many others. Bernstein–Nikolskii order inequalities for different intervals were studied by N.K. Bari (1954). Variants of inequalities for general multiplier differential operators and weighted manifolds can be found in the works of P.I. Lizorkin (1965), A.I. Kamzolov (1984), A.G. Babenko (1992), A.I. Kozko (1998),K.V. Runovsky and H.-J. Schmeisser (2001), F. Dai and Y. Xu (2013), V.V. Arestov and P.Yu. Glazyrina (2014) and other authors.For a long time, the theory of Bernstein–Nikolskii inequalities for polynomials and entire functions of exponential type developed in parallel until E. Levin and D. Lubinsky (2015) established that for all 𝑝 > 0 the Nikolskii constant for functions is the limit of trigonometric constants. For the Bernstein–Nikolskii constants, this fact was proved by M.I. Ganzburg and S.Yu. Tikhonov (2017) and refined by the author together with I.A. Martyanov (2018, 2019).Multidimensional results of the Levin–Lyubinsky type were proved by the author together with F. Dai and S.Yu. Tikhonov (the sphere, 2020), M.I. Ganzburg (the torus, 2019 and thecube, 2021).Until now, the sharp Nikolskii constants are known only for (𝑝, 𝑞) = (2,∞). The case of the Nikolskii constant for 𝑝 = 1 is intriguing. Advancement in this area was obtained by Ya.L. Geronimus (1938), S.B. Stechkin (1961), L.V. Taikov (1965), L. H¨ormander andB. Bernhardsson (1993), N.N. Andreev, S.V. Konyagin and A.Yu. Popov (1996), author (2005), author and I.A. Martyanov (2018), I.E. Simonov and P.Yu. Glazyrina (2015). E. Carneiro,M.B. Milinovich and K. Soundararajan (2019) pointed out applications in the theory of the Riemann zeta function. V.V. Arestov, M.V. Deikalova et al (2016, 2018) characterized extremalpolynomials for general weighted Nikolskii constants using duality. Here, S.N. Bernshtein, L.V. Taikov (1965, 1993) and others stood at the origins.A new direction is the proof of Nikolskii’s sharp inequalities on classes of functions with constraints. It reveals a connection with the extremal problems of harmonic analysis of Turan, Delsarte, the uncertainty principle by J. Bourgain, L. Clozel and J.-P. Kahane (2010) and others. For example, the author and coauthors (2020) showed that the sharp Nikolskii constant for nonnegative spherical polynomials gives an estimate for spherical designs by P. Delsarte, J.M. Goethals and J.J. Seidel (1977). Variants of problems for functions lead to famous estimates for the density of spherical packing, and order results are closely related to Fourier inequalities.These results are presented in the framework of the general theory of Bernstein–Nikolskii inequalities, applications in approximation theory, number theory, metric geometry are presented, open problems are proposed.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.