chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-5-44-57cheb-1159Research ArticleСтатьиArticleРеализация фокусных особенностей интегрируемых систем биллиардными книжками с потенциалом ГукаRealization of focal singularities of integrable systems using billiard books with a Hooke potential fieldВедюшкинаВиктория ВикторовнаVedyushkinaVictoria Viktorovna

доктор физико-математических наук

doctor of physics and mathematics

arinir@yandex.ruКибкалоВладислав АлександровичKibkaloVladislav Alexandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physics and mathematics

slava.kibkalo@gmail.comПустовойтовСергей ЕвгеньевичPustovoitovSergey Evgenievich

аспирант

postgraduate student

pustovoitovse1@mail.ruМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied MathematicsRussian Federation2021170120222254457Copyright © Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Пустовойтов С.Е., 20212021Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Пустовойтов С.Е.Vedyushkina V.V., Kibkalo V.A., Pustovoitov S.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1159

Рассмотрены системы движения частицы в поле центрального потенциала Гука по биллиардной книжке, склеенной из плоских круговых биллиардов. Важный класс невырожденных фокусных особенностей ранга 0 интегрируемых систем с 2 степенями свободы полностью реализован таким классом биллиардов. А именно, для каждой полулокальной фокусной особенности была построена биллиардная система с особенностью, послойно гомеоморфной данной.

Systems of particle motion in the Hooke central potential field on a billiard book glued from flat circular billiard domains are considered. An important class of nondegenerate focalsingularities of the rank 0 of integrable systems with 2 degrees of freedom is completely realized by this class of billiards. Namely, for each semi-local focal singularity the constructed billiard system has a singularity fiberwise homeomorphic to the given one.

интегрируемый биллиардфокусная особенностьслоение Лиувилля.integrable billiardfocal singularityLiouville foliation.Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 17-11-01303 в МГУ имени М. В. ЛомоносоваReferencesВедюшкина В.В., Фоменко А.Т., Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. Унив., Серия Мат. и Мех. 2019. №3. 15–25.A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, “Billiards and integrability in geometry and physics. New scope and new potential”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., 2019, no. 3, 15–25; MoscowБолсинов А.В., Фоменко А.Т., Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. T.1, 2, Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”, 1999.University Mathematics Bulletin, 74:3 (2019), 98–107Ведюшкина В.В., Харчева И.С., Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, №12. 17–56.A.V.Bolsinov, A.T.Fomenko. Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton (2004).Ведюшкина В.В., В.А. Кибкало В.А., Фоменко А.Т., Топологическое моделирование интегрируемых систем биллиардами: реализация числовых инвариантов // Докл. РАН. 2020.493. 9–12.V. V. Vedyushkina, I. S. Kharcheva, “Billiard books model all three-dimensional bifurcations of integrable Hamiltonian systems”, Mat. Sb., 209:12 (2018), 17–56; Sb. Math., 209:12 (2018), 1690–1727Ведюшкина В.В., Кибкало В.А., Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2020. №4,Vedyushkina V. V., Kibkalo V. A., Fomenko A. T. Topological modeling of integrable systems by billiards: Realization of numerical invariants // Doklady Mathematics. — 2020. — Vol. 102, no. 1. — P. 269–271–28.V. V. Vedyushkina, V. A. Kibkalo, “Realization of numeriсal invariant of the Siefert bundle of integrable systems by billiards”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., 2020, no. 4, 22–28Ведюшкина В.В., Харчева И.С., Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2021. 212, №8. 89–150.V. V. Vedyushkina, I. S. Kharcheva, “Billiard books realize all bases of Liouville foliations of integrable Hamiltonian systems”, Mat. Sb., 212:8 (2021), 89–150; Sb. Math., 212:8 (2021),Glutsyuk A., On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature // Journal of the European Mathematical Society. 2021. 23, №3. 995–1049.–1179Bialy M., Mironov A.E., Algebraic non-integrability of magnetic billiards // J. Phys. A. 2016. 49, №45. 455101.Glutsyuk A., On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature // Journal of the European Mathematical Society. 2021. 23, №3. 995–1049.Kaloshin V., Sorrentino A., On the local Birkhoff conjecture for convex billiards // Ann. of Math. 2018. 188, №1. 315–380.Bialy M., Mironov A.E., Algebraic non-integrability of magnetic billiards // J. Phys. A. 2016. 49, №45. 455101.Фоменко А.Т., Цишанг Х., Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер.Kaloshin V., Sorrentino A., On the local Birkhoff conjecture for convex billiards // Ann. of Math. 2018. 188, №1. 315–380.матем. 1990. 54, №3. 546–575.A. T. Fomenko, H. Zieschang, “A topological invariant and a criterion for the equivalence of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.,Кибкало В.А., Фоменко А.Т., Харчева И.С., Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками // Тр. ММО. 2021. 82, №1. 49–78.:3 (1990), 546–575; Math. USSR-Izv., 36:3 (1991), 567–596Харчева И.С., Изоэнергетические многообразия бильярдных книжек // Вестн. Моск. унта. Сер. 1. Матем., мех. 2020. №4. 12–22.Kibkalo V.A., Fomenko A.T., Kharcheva I.S., Realization of integrable Hamiltonial systems by billiard books// Transactions of the Moscow Mathematical Society, 2021, 80Eliasson L.H., Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals —elliptic case // Commentarii Mathematici Helvetici. 1990. 65. 4–35.I. S. Kharcheva, “Isoenergy manifolds of integrable billiard books”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., 2020, no. 4, 12–22Zung N.T., Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems. I: Arnold-Liouville with singularities. Compositio Math. 1996. 101, №2. 179–215.Eliasson L.H., Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case // Commentarii Mathematici Helvetici. 1990. 65. 4–35.Кибкало В. А., Биллиарды с потенциалом моделируют ряд четырехмерных особенностей интегрируемых систем, Совр. пробл. матем. мех. Матер. межд. конф. посвящ. 80-летию акад. РАН В.А. Садовничего, Т.2. М. 2019. 563–566.Zung N.T., Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems. I: Arnold-Liouville with singularities. Compositio Math. 1996. 101, №2. 179–215.Fomenko A.T., Kibkalo V.A., Saddle Singularities in Integrable Hamiltonian Systems: Examples and Algorithms // Contemp. Appr. Meth. in Fund. Math. Mech., Understanding Complex Systems, eds. V. A. Sadovnichiy, M. Z. Zgurovsky, Springer, Cham. 2021. 1–24.Kibkalo V.A. “Billiards with potential model four-dimensional singularities of integrable systems”, Books of Abstracts Int. Sc. Conf. “Contemporary Problems of Mathematics andКобцев И. Ф., Геодезический поток двумерного эллипсоида в поле упругой силы: топологическая классификация решений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2018. №2. 27–33.Mechanics”. Moscow, 2019, vol. 2, pp. 563-566. (In Russ.)Пустовойтов С.Е., Топологический анализ биллиарда в эллиптическом кольце в потенциальном поле // Фунд. прикл. матем. 2019. 22, №6. 201–225.Fomenko A.T., Kibkalo V.A., Saddle Singularities in Integrable Hamiltonian Systems: Examples and Algorithms // Contemp. Appr. Meth. in Fund. Math. Mech., Understanding Complex Systems, eds. V. A. Sadovnichiy, M. Z. Zgurovsky, Springer, Cham. 2021. 1–24.Пустовойтов С.Е., Топологический анализ биллиарда, ограниченного софокусными квадриками, в потенциальном поле // Матем. сб. 2021. 212, №2. 81–105.I. F. Kobtsev, “Geodesic flow of a 2D ellipsoid in an elastic stress field: topological classification of solutions”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., 2018, no. 2, 27–33; Moscow University Mathematics Bulletin, 73:2 (2018), 64–70Ведюшкина В.В., Интегрируемые биллиарды на клеточных комплексах и интегрируемые гамильтоновы системы, Докт. дисс. МГУ, М. 2020.S. E. Pustovoytov, “Topological analysis of a billiard in elliptic ring in a potential field”, Fundam. Prikl. Mat., 22:6 (2019), 201–225Lazutkin V., KAM Theory and Semiclassical Approximations to Eigenfunctions, Springer, Berlin. 1993.S. E. Pustovoitov, “Topological analysis of a billiard bounded by confocal quadrics in a potential field”, Mat. Sb., 212:2 (2021), 81–105; Sb. Math., 212:2 (2021), 211–233Bolsinov A., Izosimov A., Smooth invariants of focus-focus singularities and obstructions to product decomposition, J. of Symplectic Geom., 17:6 (2019), 1613–1648.Vedyushkina V.V., Integrable billiards on CW-complexes and integrable Hamiltonian systems, Habilitation thesis (Dr. of Phys. Math.). Moscow. MSU. 2020S. V˜u Ngo. c, On semi-global invariants for focus-focus singularities. Topology 42 (2003), 365– 380.Lazutkin V., KAM Theory and Semiclassical Approximations to Eigenfunctions, Springer, Berlin. 1993.A. Pelayo, S. V˜u Ngo. c, Semitoric integrable systems on symplectic 4-manifolds. Invent. Math. 177 (2009), 571–597.Bolsinov A., Izosimov A., Smooth invariants of focus-focus singularities and obstructions to product decomposition, J. of Symplectic Geom., 17:6 (2019), 1613–1648.А. А. Ошемков, “Классификация гиперболических особенностей ранга нуль интегрируемых гамильтоновых систем. Матем. сб., 201:8 (2010), 63–102S. V˜u Ngo. c, On semi-global invariants for focus-focus singularities. Topology 42 (2003), 365– 380.Козлов И.К., Ошемков А.А., Классификация особенностей типа седло-фокус // Чебышевский сборник. 21:2 (2020), 228–243.A. Pelayo, S. V˜u Ngo. c, Semitoric integrable systems on symplectic 4-manifolds. Invent. Math. 177 (2009), 571–597.A. A. Oshemkov, “Classification of hyperbolic singularities of rank zero of integrable Hamiltonian systems”, Sb. Math., 201:8 (2010), 1153–1191A. A. Oshemkov, “Classification of hyperbolic singularities of rank zero of integrable Hamiltonian systems”, Sb. Math., 201:8 (2010), 1153–1191Kozlov I.K., Oshemkov A.A., Classification of saddle-focus singularities. Chebyshevskii Sbornik. 21:2 (2020), 228–243. (In Russ.)Kozlov I.K., Oshemkov A.A., Classification of saddle-focus singularities. Chebyshevskii Sbornik. 21:2 (2020), 228–243. (In Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.